доказательство - Делимость произведения на факториал

Интересно, что изначально задача появилась вот тут "4-я Турецкая математическая олимпиада 1996/97" и, видимо, ожидалось, что школьники воспользуются каким-то более прямым и элементарным подходом, чем здесь или здесь, т.е. без использования достаточно продвинутой абстрактной алгебры, теории групп (теорема Лагранжа) и векторных пространств над конечными полями.

Итак, требуется доказать, что $%\displaystyle n! \mid \prod\limits_{k=0}^{n-1}(2^n-2^k)$% для $%\forall n\in \mathbb N$%. Как мне кажется для прямого доказательства тут надо вспомнить как доказывается другой факт, а именно что наибольшая степень простого числа $%p$%, делящего $%n!$% равна: $%\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{p^k}\right\rfloor$%. Та же логика может показать, что наибольшая степень нечетного простого числа, делящего правую часть, не меньше: $%\displaystyle\sum\limits_{k=1}^\infty\left\lfloor \frac{n}{p^{k}-p^{k-1}}\right\rfloor$%. По сути, это потому, что $%p^k$% делит $%2^m-1$%, когда $%m$% кратно $%p^k-p^{k-1}=\phi(p^k)$%. Поскольку $%p^k-p^{k-1}\lt p^k$%, каждый член не меньше, чем соответствующий член из суммы $%n!$%. Тогда остается просто разобраться со случаем $%p=2$%.