3
1

Доказать, что: $$\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=D(x),$$ где $%D(x)$% - функция Дирихле.

П.С. Снова олимпиадные задачи - после большого перерыва))

П.П.С. Помимо решения, жду совета, можно ли это выставлять на олимпиаду студентов, или подправить немного

задан 25 Ноя '13 0:54

изменен 25 Ноя '13 2:05

falcao's gravatar image


238k3446

10|600 символов нужно символов осталось
3

Интересно, что я в данный момент тоже подбираю задачи для студенческой олимпиады :)

Эта задача мне показалась знакомой. Я сейчас её отыскал в одном из сборников. Там, правда, решение не приведено, но мне кажется, она слишком простая. То есть тут ничего кроме того, что $%q^n\to0$% при $%|q| < 1$% не используется. Не надо даже опираться на иррациональность числа $%\pi$%.

ссылка

отвечен 25 Ноя '13 2:09

Не сказал бы. Ведь рациональные числа - не единственное всюду плотное множество в $%\mathbb R$%

(25 Ноя '13 2:22) trongsund

@trongsund: а какое отношение к этому вопросу имеют всюду плотные множества? Судите сами: если $%m$% фиксировано, то при иррациональном $%x$% модуль косинуса будет строго меньше единицы, и внутренний предел равен нулю. То есть речь о пределе тождественно нулевой последовательности. При рациональном $%x$% последовательность становится тождественно единичной, начиная с некоторого номера. Или я чего-то недоучитваю?

(25 Ноя '13 2:39) falcao

а, вот как. Теперь ясно, причём здесь |q| < 1

(25 Ноя '13 2:43) trongsund

Может, попросить просто найти сей предел - или будут очень сложно?

(25 Ноя '13 2:55) nagibin1995

ну например так. Ну или попросить как-то его описать

(25 Ноя '13 2:57) trongsund

@nagibin1995: мне кажется, если эту задачу предлагать, то лучше не сообщать ответ, то есть в формулировке попросить найти предел. Если даже кто-то не знает, что такое функция Дирихле, то это не страшно (это знание здесь не помогает и не мешает).

(25 Ноя '13 3:02) falcao

Я когда-то такую задачу предлагал на нашей олимпиаде: сходится ли последовательность $%a_n=1/(n\sin n)$% при $%n\to\infty$%? Она существенно более сложная, но кто-то из победителей её всё-таки решил.

(25 Ноя '13 3:05) falcao

А что здесь, собственно, сложного? Сразу понятно, что sin(n) не равно 0, так как эн не равно пи*ка. Поэтому этот предел будет иметь вид 0/п = 0... Или я ошибаюсь?))

(25 Ноя '13 3:17) nagibin1995

@trongsund: нет, там всё сложнее. Ведь синус, не обращаясь в ноль, может достаточно близко к нему подходить, и в этом основная проблема.

(25 Ноя '13 3:26) falcao

Я сразу узнаю задачу из Демидовича :)

(25 Ноя '13 7:41) MathTrbl
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть у нас есть последовательность функций $%\cos^{2n}(m!\pi x).$% Её предел при $%n \rightarrow \infty$% равен $%\chi(x\in {\mathbb R}\mid m!x \in{\mathbb Z}).$%
Обозначим для каждого $%m$% как $%E_m$% множество таких х. Очевидно, что $%\forall m \in {\mathbb N}\space E_{m} \subseteq E_{m+1},$% ведь если x - целое, то от умножения на целое m оно целым быть не перестанет.
Поэтому поточечный предел при $%m\rightarrow\infty$% существует и равен хар. функции объединения всех таких множеств.
Видно, что иррациональные числа туда не попадут, ведь все множества содержат лишь числа вида $%n/m!,$% но любое рациональное число со знаменателем $%k$% в несократимой дроби точно попадёт в $%E_{k}$%, ведь $%k!$% делится на $%k.$%
Значит, в ответе получим характеристическую функцию $%{\mathbb Q},$% что и есть $%D(x)$%.
Для студ. олимпиады задача вроде подходящая (я, правда, не совсем знаю, какого уровня олимпиада).

ссылка

отвечен 25 Ноя '13 2:19

изменен 25 Ноя '13 2:27

Отбор среди студентов-кружковцев для города)) Но да, что-то здесь она слишком быстро решилась...)))

(25 Ноя '13 2:54) nagibin1995
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,077
×887
×699
×262
×64

задан
25 Ноя '13 0:54

показан
1496 раз

обновлен
25 Ноя '13 7:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru