|
Доказать, что: $$\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=D(x),$$ где $%D(x)$% - функция Дирихле. П.С. Снова олимпиадные задачи - после большого перерыва)) П.П.С. Помимо решения, жду совета, можно ли это выставлять на олимпиаду студентов, или подправить немного задан 25 Ноя '13 0:54 
nagibin1995 |
|
Интересно, что я в данный момент тоже подбираю задачи для студенческой олимпиады :) Эта задача мне показалась знакомой. Я сейчас её отыскал в одном из сборников. Там, правда, решение не приведено, но мне кажется, она слишком простая. То есть тут ничего кроме того, что $%q^n\to0$% при $%|q| < 1$% не используется. Не надо даже опираться на иррациональность числа $%\pi$%. отвечен 25 Ноя '13 2:09 
falcao Не сказал бы. Ведь рациональные числа - не единственное всюду плотное множество в $%\mathbb R$%
(25 Ноя '13 2:22)
trongsund
@trongsund: а какое отношение к этому вопросу имеют всюду плотные множества? Судите сами: если $%m$% фиксировано, то при иррациональном $%x$% модуль косинуса будет строго меньше единицы, и внутренний предел равен нулю. То есть речь о пределе тождественно нулевой последовательности. При рациональном $%x$% последовательность становится тождественно единичной, начиная с некоторого номера. Или я чего-то недоучитваю?
(25 Ноя '13 2:39)
falcao
а, вот как. Теперь ясно, причём здесь |q| < 1
(25 Ноя '13 2:43)
trongsund
Может, попросить просто найти сей предел - или будут очень сложно?
(25 Ноя '13 2:55)
nagibin1995
ну например так. Ну или попросить как-то его описать
(25 Ноя '13 2:57)
trongsund
@nagibin1995: мне кажется, если эту задачу предлагать, то лучше не сообщать ответ, то есть в формулировке попросить найти предел. Если даже кто-то не знает, что такое функция Дирихле, то это не страшно (это знание здесь не помогает и не мешает).
(25 Ноя '13 3:02)
falcao
Я когда-то такую задачу предлагал на нашей олимпиаде: сходится ли последовательность $%a_n=1/(n\sin n)$% при $%n\to\infty$%? Она существенно более сложная, но кто-то из победителей её всё-таки решил.
(25 Ноя '13 3:05)
falcao
А что здесь, собственно, сложного? Сразу понятно, что sin(n) не равно 0, так как эн не равно пи*ка. Поэтому этот предел будет иметь вид 0/п = 0... Или я ошибаюсь?))
(25 Ноя '13 3:17)
nagibin1995
@trongsund: нет, там всё сложнее. Ведь синус, не обращаясь в ноль, может достаточно близко к нему подходить, и в этом основная проблема.
(25 Ноя '13 3:26)
falcao
Я сразу узнаю задачу из Демидовича :)
(25 Ноя '13 7:41)
MathTrbl
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
Пусть у нас есть последовательность функций $%\cos^{2n}(m!\pi x).$% Её предел при $%n \rightarrow \infty$% равен $%\chi(x\in {\mathbb R}\mid m!x \in{\mathbb Z}).$% отвечен 25 Ноя '13 2:19 
trongsund Отбор среди студентов-кружковцев для города)) Но да, что-то здесь она слишком быстро решилась...)))
(25 Ноя '13 2:54)
nagibin1995
|