теория-чисел - Найти ближайшее целое

Слагаемые имеют здесь вид $%\sqrt{2n-\sqrt{(2n+1)(2n-1)}}$%. Их можно сосчитать точно. Если домножить и разделить на $%\sqrt2$%, то получится $$\frac{\sqrt{(2n+1)+(2n-1)-2\sqrt{2n+1}\sqrt{2n-1}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})^2}}{\sqrt2},$$ то есть $$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{\sqrt2}.$$ Если теперь сложить все такие выражения, где $%n$% принимает значения от $%1$% до $%10000$%, то все выражения в середине сократятся: $$\frac{\sqrt{20001}-\sqrt{19999}+\sqrt{19999}-\sqrt{19997}+\cdots+\sqrt3-1}{\sqrt2}=\sqrt{10000+\frac12}-\frac1{\sqrt2}.$$ Отсюда легко увидеть, что ближайшее целое равно $%99$% (уменьшаемое здесь превышает $%100$% совсем незначительно, а вычитается величина около $%0,7$%).