геометрия - Разрезание выпуклого многоугольника на равные части (задача о разрезании торта)

В первоначальном варианте была ошибка, на которую справедливо указал @all_exist. На соображение о центре масс опираться нельзя, так как из "механических" соображений нужный факт не следует. Равенство площадей не гарантирует того, что обе стороны будут находится в равновесии. Важны не только площади, а ещё и расстояния до осей, то есть не только массы, но и "моменты". Тем не менее, общая идея рассуждения проходит, его несколько модифицировать.

Какое бы направление мы ни взяли, всегда имеется параллельная прямая, делящая фигуру на две части, имеющие равную площадь. Это следует из соображений непрерывности. Будем двигать прямую параллельно себе. Ясно, что существуют два таких положения, при котором часть фигуры "слева" имеет большую площадь, чем часть фигуры "справа", и наоборот. Но тогда существует и такая прямая, для которой площади частей равны. Легко также видеть, что эта прямая единственна: при сдвиге прямой в одну из сторон площадь одной части увеличится, а площадь другой уменьшится.

Проделаем описанную процедуру с произвольно выбранным направлением, а потом и с перпендикулярным ему. Фигура будет разделена на 4 части, площади которых можно обозначить через $%a$%, $%b$%, $%c$%, $%d$%, если обходить вокруг точки по часовой стрелке. По одну сторону от первой прямой находятся части площадью $%a$% и $%b$%, по другую -- $%c$% и $%d$%. Отсюда $%a+b=c+d$%. Если рассмотреть вторую прямую, то аналогичным образом выводится равенство $%a+d=b+c$%. Рассматривая полученную систему, мы видим, что $%a=c$%, $%b=d$%. Таким образом, при обходе вокруг точки площади частей будут такие: $%a$%, $%b$%, $%a$%, $%b$%. Здесь также можно заметить, что при заданных направлениях есть ровно одна точка с описанным выше свойством, когда части фигур, расположенные в противоположных четвертях, равны друг другу. Если сдвинуть точку пересечения в одну из четвертей, то в этой четверти площадь уменьшится, а в противоположной -- увеличится. Такую точку для заданных направлений далее будем для краткости называть "точкой псевдобаланса".

Рассматривая одну из таких точек, выберем по единичному вектору вдоль каждого из направлений. Пусть это будут векторы $%x$% и $%y$%. Начнём вращать эти направления, чтобы вектор $%x$% постепенно перешёл в вектор $%y$%. Точка псевдобаланса при этом будет, вообще говоря, меняться, двигаясь по непрерывной кривой и возвращаясь в конце в своё исходное положение. Следя за изменяющимся вектором $%x$%, будем сравнивать числа $%a$% и $%b$% -- площади фигур, расположенных "влево" и "вправо" от вектора $%x$%. Если изначально эти площади не были равны, то выполнялось неравенство, скажем, $%a > b$%. В процессе движения вектора, роли этих частей поменяются, и фигуры перейдут в фигуры площади $%b < a$%. Поскольку площади меняются непрерывно, из этого следует, что существует какое-то промежуточное положение, при котором площадь части фигуры "слева" от вектора будет равна площади фигуры, расположенной "справа" от него, то есть будет иметь место равенство $%a=b$% для одной из промежуточных точек псевдобаланса. При этом все четыре фигуры станут иметь одинаковые площади.

В заключение заметим, что даже если фигура имеет центр симметрии, из этого не следует, что угол расположения "ножа" не важен: Достаточно взять шестиугольник с координатами вершин $%(1;0)$%, $%(1;-1)$%, $%(0;-1)$%, $%(-1;0)$%, $%(-1;1)$%, $%(0;1)$%, разрезаемый осями координат. Площади фигур 2-го и 4-го координатных углов здесь равны $%a=1$%, а для 1-го и 3-го угла площади равны $%b=1/2$%.