|
Две окружности пересекаются в точках А и В. Радиусы окружности равны корень из 3 и корень из 7,а расстояние между их центрами равно 4. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружности в различных точках С и D. Причем AC=CD. Найти CD. задан 26 Ноя '13 19:55 
1234ol |
|
Пусть $%O_1$%, $%O_2$% -- центры окружностей. Рассмотрим точку $%O_1'$%, для которой $%AO_1'$% -- диаметр первой окружности, то есть $%O_1$% будет при этом серединой проведённого диаметра. Через точку $%O_1'$% проведём окружность радиуса $%O_1'A=2\sqrt3$%. Эта окружность пройдёт также через точку $%D$%, поскольку $%O_1C$% будет средней линией треугольника $%AO_1'D$%, и $%O_1'D=2O_1C=2\sqrt3$%. Прямая $%AD$%, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами $%O_1'$%, $%O_2$%, будет перпендикулярна прямой, соединяющей эти центры, то есть $%AC$% будет высотой треугольника $%AO_1'O_2$%, и её теперь можно найти через площади. У треугольника $%AO_1O_2$% известны все длины сторон. По теореме косинусов находим $%\cos\angle A=(3+7-16)/(2\sqrt3\sqrt7)=-\sqrt{3/7}$%. Синус угла треугольника всегда положителен, поэтому $%\sin\angle A=\sqrt{1-3/7}=2/\sqrt7$%. Теперь по формуле находим площадь треугольника $%AO_1'O_2$%, и по теореме косинусов находим $%O_1'O_2$%. Деля удвоенную площадь на длину основания, находим высоту. У меня получилось $%AC=CD=4\sqrt3/\sqrt{31}$%. отвечен 27 Ноя '13 5:49 
falcao |