алгебра - Преобразование вектора

Здесь нужно исходить из того, как определялась матрица перехода. Обычно делают так, что координаты векторов нового базиса в старом базисе записывают в столбцы. То есть 1 1 0 0 должен стать первым столбцом матрицы перехода, и так далее. Но надо сверить эту процедуру с определением. Иногда оно бывает и другим -- всё зависит от принятого соглашения. Бывает и так, что записывают по строкам. При этом меняется только закон преобразования координат при рассмотрении линейных операторов.

Но здесь у Вас в задаче спрашивается о законе преобразования координат. Тогда можно просто взять вектор с координатами $%x_i'$% в новом базисе, а потом разложить его по старому базису. Получится вектор $%v=x_1'e_1'+x_2e_2'+x_3e_3'+x_4e_4'$%, равный $%x_1'(e_1+e_2)+x_2'(e_1+e_3)+x_3'(e_1+e_4)+x_4'(e_1+e_2+e_3+e_4)$%. Далее всё нужно разложить по базису $%e_1$%, ..., $%e_4$%, приводя подобные члены. Коэффициенты при $%e_1$%, ..., $%e_4$% можно обозначить через $%x_1$%, ..., $%x_4$%, и тогда они выразятся через $%x_1'$%, ..., $%x_4'$%. Например, $%x_1=x_1'+x_2'+x_3'+x_4'$%, $%x_2=x_1'+x_4'$% и так далее. На этот счёт, конечно, есть готовые матричные формулы, но полезно проделать эти операции вручную, чтобы проследить, как получаются сами эти формулы общего вида.