высшая-математика - Вычислить площадь фигуры

Сделаем полярную замену координат: $%x=r\cos\varphi$%, $%y=r\sin\varphi$%. После сокращения на $%r^4$% получится уравнение кривой в полярных координатах: $%r^2\cos^6\varphi=a^2(\cos^4\varphi-\sin^4\varphi)$%. Выражение в скобках равно $%(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=\cos2\varphi$%. Шестую степень косинуса также выразим через косинус двойного угла, и тогда получится $$r^2\left(\frac{1+\cos2\varphi}2\right)^3=a^2\cos2\varphi.$$

Угол $%\varphi$% меняется от $%0$% до $%2\pi$%, но при этом не каждому из таких углов будет соответствовать какая-либо точка кривой: в левой части стоит неотрицательное число, и то же должно быть в правой части. Это значит, что $%\cos2\varphi\ge0$%. С учётом того, что косинус -- чётная функция, мы получаем, что наша фигура симметрична относительно оси $%Ox$%. С учётом того, что увеличение угла $%\varphi$% на величину $%\pi$% не меняет косинус двойного угла, мы видим, что начало координат является центром симметрии. Поэтому фигура будет состоять из четырёх частей одинаковой площади, и достаточно найти площадь той части, которая находится в первой четверти. С учётом неотрицательности косинуса, угол будет меняться от $%0$% до $%\pi/4$%.

Далее площадь вычисляется по формуле: половина интеграла от квадрата радиуса. С учётом множителя 4, в нашем случае получается $$S=2\int\limits_0^{\pi/4}r^2(\varphi) d\varphi=16a^2\int\limits_0^{\pi/4}\frac{\cos2\varphi}{(1+\cos2\varphi)^3}d\varphi.$$ Интеграл можно вычислить при помощи замены $%t=\mathop{\rm tg\,}\varphi$% (тангенс половинного угла). При этом $%\cos2\varphi=(1-t^2)/(1+t^2)$%, $%d\varphi=dt/(1+t^2)$%, и $%t$% меняется от $%0$% до $%1$%. Если проделать такую замену, то получится интеграл от степенной функции. В ответе будет $%8a^2/5$%.