высшая-математика - Дифференциальное уравнение второго порядка

Введём новую переменную $%z=y'=dy/dx$% и будем рассматривать её как (неявную) функцию от переменной $%y$%. Тогда $$y''=(y')'=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot z.$$ Уравнение принимает вид $%(1+y)zz_y=5z^2$%. Случай $%z=0$% означает, что $%y'=0$%, то есть $%y={\rm const}$%. При $%z\ne0$% получается уравнение $%(1+y)dz/dy=5z$%. Это уравнение с разделяющимися переменными: $$\frac{dz}{5z}=\frac{dy}{1+y}.$$ После интегрирования получается $%\frac15ln|z|=\ln|1+y|+\frac15\ln C$%. Константу удобно представить именно в таком виде: она принимает всевозможные постоянные значения. В результате получается $%z=C(1+y)^5$%, то есть $%dy/dx=C(1+y)^5$%. Это снова уравнение с разделяющимися переменными: $$\frac{dy}{C(1+y)^5}=dx.$$ Интегрируя обе части, получаем $$-\frac{(1+y)^{-4}}{4C}=x+C_2.$$ После переобозначения константы получается ответ $$y=\frac{C_1}{\sqrt[4]{x+C_2}}-1.$$