1. $$\lim_{x \to 1} {(cos2 \pi x)}^{ \frac{1}{ln( x^{2}- 2x+2)} }$$
  2. $$\lim_{x \to +\infty} x(1/e- (x/(1+x))^{x} )$$

Использовать можно асимптотические формулы, эквивалентные бесконечно малые и замечательные пределы.

задан 27 Ноя '13 15:26

изменен 28 Ноя '13 21:36

Желательно уточнить, какого рода средствами разрешается пользоваться. В зависимости от этого, решение задач может иметь разный вид. Например, можно применить логарифмирование и формулу Тейлора (до бесконечно малых второго порядка).

(27 Ноя '13 15:41) falcao

Если можно использовать асимптотические формулы, то это лучше всего. Сейчас помещу решения.

(28 Ноя '13 22:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Удобно сделать замену вида $%y=x-1$%, где $%y\to0$%. Косинус примет вид $%\cos2\pi y$%, а под знаком логарифма получится $%1+y^2$%.

Пределы функций вида $%f(x)^{g(x)}$% удобно вычислять при помощи логарифмирования. В данном случае, если предел существует и равен $%a > 0$%, то $%\ln a$% равно пределу функции $$\frac{\ln\cos2\pi y}{\ln(1+y^2)}$$ при $%y\to0$%. Согласно асимптотическим формулам, $%\cos2\pi y=1-(2\pi y)^2/2+o(y^2)=1-2\pi^2y^2+o(y^2)$%, откуда $%\ln\cos2\pi y=-2\pi^2y^2+o(y^2)$%. В знаменателе же получается $%\ln(1+y^2)=y^2+o(y^2)$%. Из этих формул видно, что $%\ln a=-2\pi^2$% (предел частного), и потому $%a=e^{-2\pi^2}$%.

2) Здесь удобно положить $%t=1/x$%, и при этом $%t$% стремится к нулю, будучи положительным. Имеем $$\left(\frac{x}{1+x}\right)^x=\left(\frac1{1+t}\right)^{1/t}=\exp\ln\left(\frac1{1+t}\right)^{1/t}=\exp\left(-\frac1t\ln(1+t)\right).$$ С учётом того, что $%\ln(1+t)=t-t^2/2+o(t^2)$%, под знаком экспоненты получается $%-1+t/2+o(t)$%, и тогда экспонента рассматриваемого выражения равна $%e^{-1}\exp(t/2+o(t))=e^{-1}(1+t/2+o(t))$%. Тем самым, для исходной функции, с учётом замены, получается $$\frac1t\left(\frac1e-\frac1e-\frac1{2e}t+o(t)\right)=-\frac1{2e}+o(1),$$ и предел равен $%-\frac1{2e}$%.

ссылка

отвечен 28 Ноя '13 22:35

Спасибо большое! Теперь все прояснилось.

(28 Ноя '13 22:59) Elen
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×743

задан
27 Ноя '13 15:26

показан
3585 раз

обновлен
28 Ноя '13 22:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru