. В 10-этажном здании в лифт на первом этаже вошли 11 человек. Вычислить вероятность того, что на каждом этаже выйдет хотя бы один человек.

задан 14 Мар 20:43

10|600 символов нужно символов осталось
0

Этажей, на котором могут выходить люди, имеется 9: со 2-го по 10-й. Считаем, что люди независимо и равновероятно выбирают этаж, на котором выходят. Если на каждом из этажей вышел хотя бы один, то возможны два варианта: 1) на одном этаже вышли трое, на других -- по одному; 2) на двух этажах вышли по 2 человека. Разберём их по очереди.

1) Сначала 9 способами выбираем этаж, на котором выйдут трое. Далее решаем, кто именно выйдет. Это даёт число сочетаний из 11 по 3, то есть 165. Остаётся 8 этажей и 8 человек, их распределяем по этажам 8! способами. Упомянутые здесь числа перемножаем.

2) Выбираем 2 этажа из 9, на которых выйдут по двое. Это число сочетаний, и оно равно 36. Теперь решаем, какие двое выйдут на нижнем из этих этажей. Это число сочетаний из 11 по 2, равное 55. Осталось 9 человек, и мы решаем, какие двое выйдут на верхнем из выбранных этажей. Здесь 36 способов. Остаётся 7 этажей и 7 человек, распределяем их 7! способами. Числа, как и выше перемножаем.

Найденные в пунктах 1 и 2 величины складываем и делим на общее число вариантов выхода, равное 10^{11}. Вероятность равна (9 * 165 * 8! + 36 * 55 * 36 * 7!)/9^{11}. Получается 1724800/129140163, то есть примерно 0.013356. Изначально было понятно, что это небольшая вероятность.

Добавление. Есть другой способ решения, где формулы получаются несколько более простыми. Поскольку на каждом этаже кто-то выходит, можно для каждого из этажей назначить "ответственного" за выход именно на этом этаже. Это делается 11 * 10 * ... * 3 =11!/2 способами. При этом один и тот же способ учитывается несколько раз. В пункте 1 он учитывается 3 раза, так как среди троих вышедших на одном этаже можно 3 способами выделить "ответственного". В пункте 2, где на двух этажах выходит по двое, "ответственных" можно назначить 4 способами. Поэтому там при подсчёте надо осуществить деление на 3 и 4 соответственно.

В пункте 1 у нас после распределения 9 человек по 9 этажам остаются двое, которых мы 9 способами приписываем к одному из этажей. После деления на 3 получается 3. В пункте 2 у нас также остаются двое, и первого из них мы 9 способами отправляем на один из этажей, а второго 8 способами на один из оставшихся этажей. Это даёт 9 * 8, что после деления на 4 превращается в 18. Отсюда, в частности, следует, что второй пункт возникает ровно в 6 раз чаще первого. И числитель дроби при нахождении вероятности теперь равен (3+18)11!/2. Эту величину, как и ранее, делим на общее число вариантов, равное 9^{11}, приходя к тому же ответу.

ссылка

отвечен 14 Мар 21:32

изменен 14 Мар 22:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,259
×377

задан
14 Мар 20:43

показан
98 раз

обновлен
14 Мар 22:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru