найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения $%y=y(x)$%, дифференциального уравнения $%y'=f(x,y)$%, удовлетворяющего начальному условию $%y(0)=y_0$%. $%y'=e^x+y$%, $%\ y(0)=4$%

задан 27 Ноя '13 16:05

изменен 27 Ноя '13 16:33

falcao's gravatar image


253k23650

Хотелось бы уточнить условие: там точно $%e^x+y$%, а не $%e^{x+y}$%? дело в том, что в первом варианте уравнение решается аналитически в явном виде, и разложение в ряд проблемы не составляет. А во втором случае получается более сложное уравнение, и его уже имеет смысл решать в такой форме на уровне приближённых вычислений.

(27 Ноя '13 16:38) falcao

да все правильно написано e^x +y

(27 Ноя '13 17:17) katyunehka
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну, если условие такое как написано, то тогда решение следующее. Надо найти производные в нуле нескольких порядков. Из дифференциального уравнения имеем $%y'(0)=e^0+y(0)=1+4=5$%. Далее, дифференцируя обе части уравнения, получаем $%y''(x)=e^x+y'(x)=2e^x+y(x)$%, и тогда $%y''(0)=2+4=6$%. Это уже даёт три ненулевых члена ряда, но если имелись в виду три члена с ненулевыми показателями, то можно на всякий случай найти третью производную тем же способом. Получится $%y'''(0)=3e^x+y(x)$% и $%y'''(0)=7$%. Разложение в степенной ряд будет иметь вид $%y=y(0)+xy'(0)+x^2y''(0)/2!+y'''(0)/3!+\cdots$%, то есть $%y=4+5x+3x^2+7x^3/6+\cdots$%.

Условие меня несколько смутило тем, что данное уравнение имеет точное аналитическое решение $%y=(x+4)e^x$%. То есть разложение в степенной ряд можно получить даже таким способом.

ссылка

отвечен 27 Ноя '13 17:48

Спасибо большое:)

(27 Ноя '13 18:33) katyunehka
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,859

задан
27 Ноя '13 16:05

показан
4123 раза

обновлен
27 Ноя '13 18:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru