|
найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения $%y=y(x)$%, дифференциального уравнения $%y'=f(x,y)$%, удовлетворяющего начальному условию $%y(0)=y_0$%. $%y'=e^x+y$%, $%\ y(0)=4$% задан 27 Ноя '13 16:05 
katyunehka |
|
Ну, если условие такое как написано, то тогда решение следующее. Надо найти производные в нуле нескольких порядков. Из дифференциального уравнения имеем $%y'(0)=e^0+y(0)=1+4=5$%. Далее, дифференцируя обе части уравнения, получаем $%y''(x)=e^x+y'(x)=2e^x+y(x)$%, и тогда $%y''(0)=2+4=6$%. Это уже даёт три ненулевых члена ряда, но если имелись в виду три члена с ненулевыми показателями, то можно на всякий случай найти третью производную тем же способом. Получится $%y'''(0)=3e^x+y(x)$% и $%y'''(0)=7$%. Разложение в степенной ряд будет иметь вид $%y=y(0)+xy'(0)+x^2y''(0)/2!+y'''(0)/3!+\cdots$%, то есть $%y=4+5x+3x^2+7x^3/6+\cdots$%. Условие меня несколько смутило тем, что данное уравнение имеет точное аналитическое решение $%y=(x+4)e^x$%. То есть разложение в степенной ряд можно получить даже таким способом. отвечен 27 Ноя '13 17:48 
falcao Спасибо большое:)
(27 Ноя '13 18:33)
katyunehka
|
Хотелось бы уточнить условие: там точно $%e^x+y$%, а не $%e^{x+y}$%? дело в том, что в первом варианте уравнение решается аналитически в явном виде, и разложение в ряд проблемы не составляет. А во втором случае получается более сложное уравнение, и его уже имеет смысл решать в такой форме на уровне приближённых вычислений.
да все правильно написано e^x +y