На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном — 19 параллельных между собой прямых, в другом — 23 параллельных между собой прямых, в третьем — 36 параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?

задан 27 Ноя '13 16:27

изменен 27 Ноя '13 22:45

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Когда проводится первое семейство прямых, круг разбивается максимум на 20 частей -- при условии, что каждая из прямых пересекает его по отрезку. Когда проводится одна из прямых второго семейства, то она пересекает максимум 19 линий первого семейства. Если при этом она пересекает круг по отрезку (чего легко добиться), то отрезок разбивается на 20 частей, и каждая из них подразбивает на две части одну из предыдущих областей разбиения. Это значит, что при проведении очередной прямой добавляется максимум 20 частей, а после проведения 23 прямых к уже имеющимся 20 частям добавится не более $%460$%. Легко видеть, что максмальное значение достигается: достаточно располагать прямые на близком расстоянии от центра, и тогда хорды, не параллельные друг другу, будут пересекаться во внутренней точке.

Теперь рассмотрим прямую третьего семейства. Она может пересечь максимум $%19+23=42$% отрезка, добавив при этом $%43$% новых части. Добиться того, чтобы такое число достигалось, можно этим же способом, но при этом надо избегать тройных точек пересечения, что всегда возможно, так как количество точек пересечения конечно. В итоге к имеющемуся количеству добавится максимум $%43\cdot36$% новых частей, и максимальное значение опять же достигается. Остаётся сложить всё, что получилось.

ссылка

отвечен 27 Ноя '13 17:03

Вы говорите, что нужно просуммировать 20 + 460 + 23 * 46. А точно нужно суммировать? А (20 * 23 * 36) не будет ответом?

(27 Ноя '13 18:44) Clarkkent

@Clarkkent: ответ, предлагаемый Вами, не обладает симметрией. К числу 19 прибавили единицу, а к остальным почему-то нет. Так не бывает.

Кроме того, частей не будет так много. Их число имеет порядок $%n^2$%, а не $%n^3$%. Дело в том, что новая проведённая прямая пересекает только отдельные части, и при этом далеко не все. Представьте себе очень мелкое разбиение и новую проведённую прямую.

(27 Ноя '13 18:56) falcao

Да, и ещё у меня там последнее слагаемое не $%23\cdot46$%, а $%43\cdot36$%.

(27 Ноя '13 18:58) falcao

То есть нужно просуммировать 20 + 460 + 43 * 36, что равно 2028, и это будет ответом?

(27 Ноя '13 19:40) Clarkkent

Да, у меня такой ответ получился. В общем случае, в буквенных обозначениях, получается $%1+a+b+c+ab+ac+bc$%. Это же выражение равно $%(1+a)(1+b)(1+c)-abc$%. То есть тройные произведения сюда не входят.

(27 Ноя '13 19:53) falcao

Спасибо большое

(27 Ноя '13 20:58) Clarkkent
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Там если провести 23 прямых, то они пересекут 19 прямых и будет всего 480 частей. Можно проверить на меньшем количестве прямых. Если взять 3 прямые I-го семейства и 1 прямую II-го семейства, то получится 3 *(1 + 1) = 6. Можете проверить! Формула S = (n + 1)(k + 1)

ссылка

отвечен 5 Янв '14 0:30

@Radik: это соображение достаточно, чтобы решить задачу с двумя семействами прямых. Для этого случая формула (n+1)(k+1) подходит. Но в задаче есть третье семейство (из 36 прямых), и там уже учёт несколько более сложный.

(5 Янв '14 4:11) falcao

Но я всё таки не понял, почему добавится не более 460 частей?

(5 Янв '14 13:16) Radik

@Radik: там всё ясно написано. Когда проводится новая прямая, то мы смотрим на то, сколько она оставила "разрезов". Каждый из них добавляет одну новую часть. В этом фрагменте рассуждения ответ вообще получается такой же, как у Вас, потому что 20 частей было, и если к ним 460 добавилось, то 480 и получается. Но я уже говорил, что это не относится к последнему этапу, когда проводится третья серия из 36 прямых. Там уже процесс устроен чуть сложнее. Но принцип тот же самый: следить за числом точек пересечения.

(5 Янв '14 13:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

а если: На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном — 22 параллельных между собой прямых, в другом — 24 параллельных между собой прямых, в третьем — 31 параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг? ТО ПОЛУЧИТСЯ 2032?

ссылка

отвечен 6 Янв '14 17:00

@veronika6601: я уже много раз говорил, что мне не доставляет никакого интереса проверка арифметических вычислений для разных чисел. Такие вопросы задавать не надо. Складывать и умножать Вы умеете не хуже меня. Я обсуждаю только те вещи, в которых есть интересное математическое содержание. Если по изложенному мной решению что-то непонятно, готов ответить на любые вопросы. Если понятно, все вычисления можете сделать сами.

(6 Янв '14 17:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

можно вопрос,т.е Когда проводится первое семейство прямых, круг разбивается максимум на n+1 частей,где n-прямые первого семейства, прямые второго семейства делят круг на (число прямых первого семейства+1) * на число прямых второго семейства, а прямые третьего семейства пересекают максимум (число прямых первого семейства+второго+1)* на число прямых третьего семейства,и сложив полученные результаты получим ответ. Это верно?

ссылка

отвечен 18 Янв '14 16:14

изменен 18 Янв '14 16:17

@denisivlev989: напишите тот вывод, который у Вас получился в виде формулы, зависящей от чисел $%a$%, $%b$%, $%c$%. Потом сравните с тем, что по этому поводу сказано в одном из моих комментариев к моему же решению. Здесь вся информация уже есть.

(18 Янв '14 18:38) falcao

а-прямые первого семейства,в-второго,с-третьего да?

(18 Янв '14 18:49) HULK29

@denisivlev989: да, эти числа обозначают количество прямых каждого семейства.

(18 Янв '14 19:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,766
×2,394
×117

задан
27 Ноя '13 16:27

показан
4968 раз

обновлен
18 Янв '14 19:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru