Доказать, что: число 4p^{2} + 1 представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел при любом простом p > 3. Для чисел вида 4k+1 всё понятно : так как по известной теореме p представимо в виде суммы двух квадратов , то и 2^{2} * p^{2} представимо тоже по известному факту, значит 4p^{2} + 1 представимо в виде суммы трёх квадратиков. А что делать с простыми вида 4k+3??

задан 16 Мар 14:57

А что делать с простыми вида 4k+3??

забить

(16 Мар 15:02) mihailm

@mihailm: нет , так нельзя , нужно полностью решить задачу!

(16 Мар 15:03) Хитросделанн...

просто учительница очень требовательная и поэтому требует , чтобы задачи были решены полностью , а не только частично

(16 Мар 15:20) Хитросделанн...
1

@Хитросделанн..., ну пользоваться всякими сильными известными теоремами нужно в последнюю очередь.

Обычно простое p>3 в задачах говорит о том, что р=6к+1 или p=6k-1. Попробуйте с такими p решить.

(16 Мар 17:20) mihailm
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для простых чисел вида 4k + 3 мы можем использовать теорему Лежандра о трех квадратах. Эта теорема гласит, что натуральное число n можно представить в виде суммы трех квадратов тогда и только тогда, когда n не имеет вида 4^a(8b + 7) для неотрицательных целых чисел a и b. Так как любое простое число больше 3 нечетное, следует, что любое простое число вида 4k + 3 не может быть записано в виде 4^a(8b + 7). Поэтому, по теореме Лежандра о трех квадратах, любое простое число вида 4k + 3 может быть представлено в виде суммы трех квадратов. Теперь рассмотрим число 4p^2 + 1, где p - простое больше 3. Поскольку p нечетное и больше 3, из этого следует, что p нельзя записать в виде 4^a(8b + 7). Поэтому, по теореме Лежандра о трех квадратах, p можно представить в виде суммы трех квадратов. Отсюда следует, что (2p)^2 = (2p)^2 * (1)^2 также можно представить в виде суммы трех квадратов. Прибавление единицы к обеим сторонам дает:
(2p)^2 + 1^2 = (сумма трех квадратов) + (сумма одного квадрата)
Таким образом, мы показали, что для любого простого числа p > 3 число (2p)^2+1=4p^{2}+1 может быть представлено в виде суммы четырех квадратов. Поскольку каждое положительное целое число можно тривиально выразить как квадрат самого себя плюс квадрат нуля плюс квадрат нуля плюс квадрат нуля, мы показали, что для любого простого p > 3 число (2p)^2+1=4p^{2}+1 можно также выразить как сумму не более четырех неотрицательных целых квадратов.

ссылка

отвечен 16 Мар 16:14

1

опять чгпт что ли?))

прямо не дает она народу покоя, точнее жаждущим за чужой счет подняться

(16 Мар 17:18) mihailm
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,081

задан
16 Мар 14:57

показан
246 раз

обновлен
16 Мар 17:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru