При каких значениях параметра уравнение не имеет корней? $$25^x-(a-4)5^x-2a^2+10a-12=0$$

задан 27 Ноя '13 21:03

10|600 символов нужно символов осталось
0

Замена 5^x=y Получается квадратное уравнение, оно: или не должно иметь решения (Д<0), или должно иметь два корня и оба они отрицательные Условие наличия двух отрицательных корней. Система Д>0 F(0)>=0 -b/2a<0 это координата вершины параболы по иксу И еще нужно проверить Д=0. Если при этом корень отрицательный, то в ответ, если нет, то не подходит

link text

link text

link text

link text

ссылка

отвечен 27 Ноя '13 21:19

изменен 29 Ноя '13 17:21

@epimkin: вот это утверждение неточно: "или должно иметь два корня и оба они отрицательные". Может быть ещё, что имеется один нулевой корень и один отрицательный, или даже два нулевых.

(28 Ноя '13 1:06) falcao

А можете все условия,указать в системе или в совокупности?

(28 Ноя '13 12:41) Amalia

а почему нужно брать f от нуля, почему не от другого числа?

(29 Ноя '13 13:21) Amalia

Это одно из условий расположения параболы именно таким образом(см.картинку в ответе). А вообще-то поищите в интернете тему "Расположение корней квадратного уравнения"- очень полезная информация для решения уравнений с параметром, а то большая половина учеников начинают искать корни и т.д.

(29 Ноя '13 14:18) epimkin

@Amalia: на мой взгляд, в данном случае для анализа того, когда уравнение имеет или не имеет положительные корни, проще опираться не на графические соображения, а на теорему Виета.

(29 Ноя '13 15:35) falcao

Произведение корней должно быть больше нуля, а сумма меньше?

(29 Ноя '13 15:37) Amalia

@Amalia: у меня написано здесь подробное решение, где всё разъяснено. Во-первых, неверно заключение о том, что $%q$% БОЛЬШЕ нуля: сказано ведь, что $%q\ge0$%. Это условие необходимо, и оно должно выполняться. Условие $%p > 0$% (сумма корней отрицательна, если они существуют) является достаточным. Корней либо нет (если дискриминант отрицателен), либо они есть, но положительных среди них не имеется.

(29 Ноя '13 15:43) falcao

У меня тоже q>=0, а потом это все же метод универсальный ( вдруг нужно в задании определить, что корни должны быть больше единицы), а у Вас частный случай, где теорема Виета работает

(29 Ноя '13 16:33) epimkin

@epimkin: я понимаю, что Вы подразумевали, но в изложенном Вами решении не делается разницы между понятиями положительного и неотрицательного числа. Я считаю, что это недостаток, который надо устранить.

Для общего случая теорема Виета, разумеется, тоже применима. Я здесь воспользовался тем, что сначала рассмотрел заведомо необходимое условие для $%q$%, а потом заметил, что при этом $%p$% уже получается какое надо. Это избавляет от необходимости выписывать критерий, который формулируется более длинно.

(29 Ноя '13 16:44) falcao

Это понятно, зато он универсальный и если научиться закреплять параболу как надо, то чисто механический

(29 Ноя '13 17:02) epimkin

Специально для Amalia

(29 Ноя '13 17:23) epimkin

Спасибо за помощь

(29 Ноя '13 17:26) Amalia
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%y=5^x > 0$%. Тогда задача переформулируется так: при каких значениях $%a$% квадратное уравнение $%y^2+py+q=0$% не имеет положительных корней, где $%p=4-a$%, $%q=-2(a^2-5a+6)$%?

Ясно, что при $%q < 0$% дискриминант положителен, а корни существуют и имеют противоположные знаки. В этом случае положительный корень $%y$% найдётся, а вместе с ним и подходящее $%x=\log_5y$%. Поэтому рассмотрим случай $%q\ge0$%, то есть $%(a-2)(a-3)\le0$%. При этом $%a\in[2;3]$%, а коэффициент $%p$% равен $%4-a$%, то есть положителен. Тогда сумма корней отрицательна по теореме Виета, и положительных корней уравнение очевидным образом не имеет. В противном случае второй корень был бы отрицателен, и произведение корней, равное $%q$%, тоже оказалось бы отрицательным.

ссылка

отвечен 27 Ноя '13 21:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
27 Ноя '13 21:03

показан
1086 раз

обновлен
29 Ноя '13 17:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru