функции - Доказать, что первообразная периодична

В одну сторону всё очевидно: если интеграл от 0 до Т равен 0, то это же верно для любого отрезка длины Т. Отсюда F(x+T)=F(x). В другую сторону чуть сложнее: из того же рассуждения следует, что ни Т, ни его кратное не будут периодом F. Однако надо доказывать, что никакое другое число не будет периодом функции F. Проще всего это обосновать так: пусть интеграл не равен нулю. Без ограничения общности, пусть он больше нуля. Тогда интеграл от 0 до nT будет стремиться к бесконечности, а это F(nT). А функция с таким свойством непериодична.

@falcao

Спасибо

@falcao

Почему будет к бесконечности стремиться интеграл?

@Antontina: пусть интеграл от 0 до T равен a > 0. Интеграл от T до 2T такой же, так как f периодична. Тогда интеграл от 0 до 2T равен 2a, аналогично от 0 до 3T будет 3a, и так далее. Значит, F(na) уходит в бесконечность.