|
Рассмотрим последовательность чисел S=1,3,6,10,15,21,28,36,45... Доказать, что $$S_1+(S_2)^2+S_3=z^2$$ всегда истинно для определенных целых чисел z. задан 26 Мар 1:47 
Arthur13 |
|
Здесь использованы очень неудачные обозначения, хотя понятно, что имелось в виду. Рассматриваются числа $%S_n=\frac{n(n+1)}2$%, где $%n\ge1$%. Требуется доказать, что для любого $%n$% сумма $%S_n+S_{n+1}^2+S_{n+2}$% является точным квадратом. Можно, конечно, подставить в левую часть значения для треугольных чисел и выполнить тождественные преобразования. Но в таком виде довольно долго придётся вычислять. Вместо этого можно сначала выяснить (хотя бы на уровне предположения), квадратом чего должно быть выражение в левой части. Для этого подставим в формулу начальные значения $%n$%. Получится $%1+3^3+6=16=4^2$%, $%3+6^2+10=49=7^2$%, $%6+10^2+15=121=11^2$% и так далее. Видно, что $%4$%, $%7$%, $%11$% -- это треугольные числа, увеличенные на единицу, и они задаются формулой $%S_{n+1}+1$%. В таком виде равенство и будем проверять. Понятно, что $%(S_{n+1}+1)^2-S_{n+1}^2=2S_{n+1}+1=(n+1)(n+2)+1=n^2+3n+3$%. С другой стороны $%S_n+S_{n+2}=\frac{n(n+1)+(n+2)(n+3)}2=\frac{n^2+n+n^2+5n+6}2=n^2+3n+3$%, то есть имеет место тождество $%(S_{n+1}+1)^2-S_{n+1}^2=S_n+S_{n+2}$%, что и требовалось установить. отвечен 26 Мар 11:18 
falcao |
Формулировка задания довольно странная.... лучше записать задачу в другой форме. Не циферки, а формулу. Тогда сразу станет ясно, что искать.