Рассмотрим $%R=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1 < x^2 + y^2 < 2\}$% - кольцо на плоскости. Нужно явно описать его компактификацию Александрова, то есть добавить к кольцу одну точку так, чтобы получившееся множество стало компактным. Если хотя бы одна граница принадлежала кольцу, то очевидно компактификацией был бы круг $%D^2$% или сфера $%S^2$%. Сначала хотел отождествить "бесконечно удалённую точку" и центр плоскости, так как кольцо гомеоморфно плоскости без центра, но тогда отображение не будет непрерывным. Есть идеи?

задан 9 Мар '12 15:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

Кольцо-это двусвязное множество, для его замыкания (т.е. для превращения его в замкнутое односвязное множество) потребуются, как минимум, две точки. Например, можно отобразить кольцо на плоскость без центра или на сферу без полюсов и добавить в первом случае центр и бесконечность, а во втором - два полюса. В любом случае необходимы две точки.

Ответ на комментарий 1. Могу предложить отобразить кольцо на сферу с выколотыми полюсами, сплющить ее, сблизив полюса, и замкнуть все это одной точкой. Получится замкнутое не односвязное множество.

Ответ на комментарий 2. И при отображении кольца на сферу без полюсов, и при сплющивании сферы гомеоморфизм не нарушается (в "чистом" топологическом пространстве понятия "расстояние" вообще нет, непрерывность означает преобразование системы вложенных окрестностей в аналогичную). Единственный момент - при замыкании получается не односвязное множество. Собственно, ну и что?

Дополнение. Кстати, вместо "сплющивания" сферы можно провести следующую операцию. Опишем вокруг каждой из выколотых точек замкнутый контур, а затем будем вытягивать область, ограниченную таким контуром в конус с вершиной в выколотой точке по направлению к центру сферы. Когда вершины обоих конусов окажутся в центре сферы, замкнем их точкой. Такая процедура допускает обобщение на любую n-связную область - отображаем такую область на сферу с n выколотыми точками, а затем окрестность каждой выколотой точки вытягиваем в такой конус.

ссылка

отвечен 9 Мар '12 19:10

изменен 10 Мар '12 16:35

Со стандартной топологией $%\mathbb{R}^2$% это конечно так. Но вот возьмём одноточечную компактификацию - добавим одну точку, изменим топологию, получим компакт, даже хаусдорфовость есть. Вопрос в том, можно ли представить такую компактификацию "явно, красиво" в $%\mathbb{R}^2$% ? Например, одноточечная компактификация прямой $%\mathbb{R}$% даёт компакт, гомеоморфный окружности. Хотелось бы что-нибудь подобное, если возможно, с кольцом.

(9 Мар '12 19:28) Fedya

Пример: возьмём замкнутое с одной стороны кольцо $%\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1<x^2+y^2 \leq 2 \}$% Это двусвязное множество. Но его одноточечная компактификация даёт односвязное множество, гомеоморфное двумерному диску.

(9 Мар '12 19:56) Fedya

Насчёт сплющивания сферы - получается что в окрестности точки сплющивания полюсов нарушается непрерывность, потому что близкие точки из малой окрестности точки сплющивания могут попасть на разные стороны кольца, где между ними большое расстояние. Хотя я сейчас подумал: при стереографической проекции окружности на прямую в малой окрестности северного полюса получается похожая ситуация, но там с непрерывностью при компактификации всё хорошо. Быть может здесь тоже всё неплохо?

(10 Мар '12 0:23) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
1

Т.е. надо "стянуть" две круговые границы в одну точку? Вроде как мужчины дыры на носках зашивают ))) Вряд ли такое можно вложить в $%\mathbb R^2$%. Топологически это "бублик без дырки", т.е. тор с нулевым внутренним радиусом.
Кстати, аналогичная компактификация прямой тоже не вкладывается в прямую. Ее образом является окружность. И там и там размерность надо увеличить на единицу.
Кстати, я правильно поняла, что при такой компактификации изменяется топология исходного множества? Т.е. "индуцированные" на нем из нового пространства окрестности не совпадают со старыми? Например, на прямой возникает окрестность |x|>c.

ссылка

отвечен 9 Мар '12 20:33

изменен 9 Мар '12 20:36

Да, получается бублик без дырки, ещё на проективную плоскость немного похоже=) В $%\mathbb{R}^2$%, конечно, не вложить, здесь я погорячился, но можно вложить по крайней мере в $%\mathbb{R}^4$%, по теореме Уитни. Да, топология, конечно, изменяется: пусть $%Y$%- компактификация $%X$%, тогда $%\Omega_Y=\Omega_X \cup \{Y \backslash C : C \subset X\}$% Здесь $%C$%-компакт в $%X$% Вообще, мысль была такая: найти такое компактное множество $%M$%, что если выкинуть из него одну точку, то остаток будет гомеоморфен исходному кольцу. Тогда компактификацией кольца будет $%M$%.

(9 Мар '12 20:56) Fedya

А почему в $%\mathbb R^4$%? Бублик вроде в $%\mathbb R^3$% вкладывается.

(9 Мар '12 20:58) DocentI

С "бубликом без дырки" (в теории поля такие штуки вроде бы называются скирмионами, хотя я могу ошибаться) я вижу такую проблему: если мы выкинем из него центр, то получившийся "бублик с точечной дыркой" не будет гомеоморфен кольцу, так как в окрестности "точечной дырки" нарушается непрерывность гомеоморфизма.

(9 Мар '12 21:00) Fedya

Ну да, потому я и спросила об изменении топологии. Ведь если "соединить концы прямой" с помощью точки $%\infty$%, то возникает окрестность бесконечности, содержащая и положительные, и отрицательные числа. Такой нет на обычной, двусторонней прямой. Если теперь эту бесконечность выкинуть, то окрестность-то останется (?)

(9 Мар '12 21:05) DocentI

Но ведь в исходной топологии были открытые множества x>c и x<-c. После введения точки "бесконечность" их объединение оказалось ее окрестностью. Но топология - это не совокупность окрестностей, а совокупность открытых множеств. После удаления точки "бесконечность" каждая ее окрестность (т.е. каждое новое односвязное открытое множество) опять распадется на два, и топология вернется к прежней.

(9 Мар '12 22:10) Андрей Юрьевич

И чем "сплющенная" сфера отличается от "бублика без дырки"?

(10 Мар '12 21:29) DocentI

Разумеется, ничем.

(10 Мар '12 23:17) Андрей Юрьевич

В $%\mathbb{R}^3$% у такой штуки будет самопересечение в центре.

(11 Мар '12 1:20) Fedya

Ну да, и что? Множество получится не односвязное. Но замкнутое.

(11 Мар '12 12:55) Андрей Юрьевич
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×96
×3

задан
9 Мар '12 15:34

показан
1517 раз

обновлен
11 Мар '12 12:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru