Помогите, пожалуйста.

(-1)^0▒dy ∫(2y-6)^(〖8y〗^3)▒f(x,y)dx

задан 28 Ноя '13 19:26

изменен 29 Ноя '13 15:38

Deleted's gravatar image


126

Условие задачи невозможно понять из-за наличия посторонних символов. Постарайтесь переоформить, и тогда подскажем, что надо делать.

Каким, кстати, средством Вы пользовались при наборе формул?

(28 Ноя '13 20:14) falcao

инт(от -1 до 0)dy инт (от 2y-6 до 8y(в 3 степени))f(x,y)dx. Формулы набирала через Word.

(29 Ноя '13 15:25) Катюха

В таком виде условие понятно, и сейчас я изложу решение.

Word'ом при наборе формул пользоваться не надо -- он всё искажает (я теперь понял, откуда у многих такие "квадратики" и прочее). Лучше использовать встроенный редактор (ссылка есть на странице), или писать словами (на худой конец).

(29 Ноя '13 15:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\int\limits_{-1}^0dy\int\limits_{2y-6}^{8y^3}f(x,y)\,dx$$

Если я правильно понял, именно такой интеграл рассматривается в условии.

Прежде всего, надо установить, по какой области идёт интегрирование. По переменной $%y$% оно идёт от $%-1$% до нуля, то есть $%-1\le y\le0$%. Интегрирование по $%x$% при каждом фиксированном $%y$% происходит от нижнего до верхнего предела внутреннего интеграла, то есть $%2y-6\le x\le8y^3$%.

Нарисуем теперь четыре линии, ограничивающие фигуру. Это $%y=-1$% и $%y=0$% (горизонтальные прямые), а также две линии $%x=2y-6$% и $%x=8y^3$%. В каждом из двух последних случаев удобно выразить $%y$% через $%x$%, после чего получаются уравнения $%y=\frac{x}2+3$% и $%y=\frac{\sqrt[3]{x}}2$%. В таком виде оба графика легко изображаются.

Прямая $%y=\frac{x}2+3$% и кубическая парабола $%y=\frac{\sqrt[3]x}2$% пересекаются в точке $%(-8;-1)$%, лежащей на прямой $%y=-1$%, а точками пересечения этих графиков с прямой $%y=0$% будут $%(-6;0)$% и $%(0;0)$% соответственно. Поэтому в пределах фигуры интегрирования, $%x$% будет меняться от $%-8$% до $%0$%. При этом для разных значений $%x$% нижняя граница фигуры будет описываться одним и тем же уравнением $%y=\frac{\sqrt[3]x}2$%, а для верхней границы возникает два случая. Поэтому интеграл разбивается в сумму двух (так нередко бывает при изменении порядка интегрирования), и в итоге получается $$\int\limits_{-8}^{-6}dx\int\limits_{\sqrt[3]x/2}^{x/2+3}f(x,y)\,dx+\int\limits_{-6}^{0}dx\int\limits_{\sqrt[3]x/2}^{0}f(x,y)\,dx.$$

ссылка

отвечен 29 Ноя '13 16:06

Спасибо огромное за помощь, а то я в конце совсем запуталась:)

(29 Ноя '13 17:18) Катюха
10|600 символов нужно символов осталось
0

А откуда точки пересечения (-8,-1), (−6;0) и (0;0) ?

ссылка

отвечен 24 Апр '15 23:09

изменен 24 Апр '15 23:09

1

@Demit: давайте начнём с двух последних точек. Там речь идёт о пересечении линий $%y=x/2+3$% и $%y=0$%. Приравниваем; получается $%x/2+3=0$%, то есть $%x=-6$%. Это и даёт точку $%(-6;0)$%, где $%x=-6$%, $%y=0$%. С точкой $%(0;0)$% теперь, думаю, всё ясно.

По поводу первой точки: надо составить уравнение $%x/2+3=\sqrt[3]x/2$%. Положим $%t=\sqrt[3]x$%. Получается кубическое уравнение $%t^3-t+6=0$%. Один корень находим подбором: $%t=-2$%. Раскладываем на множители: $%(t+2)(t^2-2t+3)=0$%. У квадратного трёхчлена $%D < 0$%, корней он не имеет. Значит, $%x=t^3=-8$%, $%y=-8/2+3=-1$%. Это $%(-8;1)$%.

(24 Апр '15 23:23) falcao

Интеграл (от 0 до sqrt(2)) dy Интеграл (от y до sqrt(4-y^2)) f(x,y) dx.

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

0<=y<=sqrt(2) y<=x<=sqrt(4-y^2)

x=y => y=x

x=sqrt(4-y^2) => y=sqrt(4-x^2)

x=sqrt(4-x^2) => x=sqrt(2) => y=sqrt(4-2)=sqrt(2) => (sqrt(2), sqrt(2))

Далее в решении запутался в точках... Помогите пожалуйста.

(25 Апр '15 16:13) Katrin
1

@Demit: в комментариях эти вещи очень трудно осуждать. Если хотите, можете сделать это отдельным вопросом. Общий совет такой: надо сначала нарисовать графики (здесь это $%y=0$%, $%y=\sqrt2$%, $%y=x$%, $%x=\sqrt{4-y^2}$%) и увидеть саму область. Тогда сразу станет ясно, что происходит при смене порядка следования переменных.

(25 Апр '15 16:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,043
×8

задан
28 Ноя '13 19:26

показан
7629 раз

обновлен
25 Апр '15 16:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru