Пусть r - корень квадратный, тогда: r(-1) = i, -i/r(2) = 1/(ir(2)) = 1/r(-2) = i/(ir(-2)) = i/r(2). Но этого не может быть. Если -i/r(2) = i/r(2), то i = 0. Где здесь ошибка?

задан 29 Ноя '13 13:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ошибка в том, что $%\sqrt{z}$% в комплексной области является многозначной функцией, и запись вида $%i=\sqrt{-1}$% можно понимать лишь условно -- в том смысле, что квадрат числа $%i$% равен $%-1$%. Но этим же свойством обладает и число $%-i$%, то есть считается, что в общем случае $%\sqrt{z}$% принимает не одно, а два значения (отличающиеся знаком). То же касается корня $%n$%-й степени в общем случае: если $%z\ne0$%, то $%\sqrt[n]z$% принимает $%n$% различных значений.

Теперь собственно о тех равенствах, которые Вы написали. "Парадоксальное" следствие можно получить ещё проще, не рассматривая деления и не привлекая $%\sqrt2$%. Выглядит оно так: $%i^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt1=1$%, то есть $%-1=1$%. Всё дело здесь в равенстве $%\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}=\sqrt{z_1z_2}$%, частный случай которого был использован. Если его истолковывать как то, что квадрат одного числа равен квадрату другого, то оно верно. Но в комплексной области, в отличие от действительной, не удаётся однозначно выбрать одно из значений квадратного корня для каждого $%z\in{\mathbb C}$% с сохранением этого свойства.

Для действительных чисел тоже существуют два значения, в квадрате дающих заданное положительное $%a$%, но при этом договариваются "основным" из них считать положительное, то есть имеется естественное правило предпочтения. Тогда равенство $%\sqrt{a_1}\sqrt{a_2}=\sqrt{a_1a_2}$% для положительных действительных $%a_1$%, $%a_2$% доказывается на основании того, что квадраты обоих частей равны $%a_1a_2$%, и при этом обе части положительны, и тогда корни также оказываются равными. В комплексной же области сам выбор из двух вариантов осуществить не так просто. Например, $%(1-i)^2=-2i$%, и в то же время $%(i-1)^2=-2i$%. Какое тогда число считать "настоящим" значением корня квадратного их $%-2i$%: то ли $%1-i$%, то ли $%i-1$%? Если этот выбор осуществить для каждого $%z$% как попало, то не будет гарантии совпадения значений, выбранных для произведения.

Вообще, обычно у функции $%\sqrt{z}$% в комплексной области выбирают подходящую "ветвь", чтобы с этой функцией можно было работать. Например, если $%z=re^{i\varphi}$% в экспоненциальной форме, то можно по определению положить $%\sqrt{z}=\sqrt{r}e^{i\varphi/2}$%, и при этом всегда получается, что $%\sqrt{z}^2=z$%. Однако выбор угла $%\varphi$% осуществляется неоднозначно, и такое определение хорошо себя ведёт только для функций, определённых в подходящей области, где с выбором значения угла этой проблемы не возникает. В общем же случае это не так, поэтому перенос некоторых свойств действительных чисел на комплексную область оказывается затруднён.

ссылка

отвечен 29 Ноя '13 15:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×9

задан
29 Ноя '13 13:57

показан
291 раз

обновлен
29 Ноя '13 15:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru