Числа а, b, c таковы, что система уравнений $$ax-by=2a-b\\ (c+1)x+cy=10-a+3b$$ имеет бесконечно много решений, причем х=1, у=3- одно из этих решений. Найти числа а, b, c?

задан 29 Ноя '13 16:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прежде всего, из условия задачи следует, что $%a=-2b$% и $%4c=9+5b$% (подставляем в систему значения $%x=1$%, $%y=3$% и упрощаем). Далее, из того, что система имеет бесконечно много решений, следует, что строки коэффициентов в левой части должны быть пропорциональны друг другу (см. обоснование ниже). Это значит, что $%ac=-b(c+1)$% (произведения коэффициентов, взятые "крест-накрест", равны). Из этого уравнения с учётом предыдущих следует, что $%b=0$% или $%c=-1$%. В каждом из этих случаев находятся остальные числа, и получается две возможности: $%(a,b,c)=(0;0;9/4)$% или $%(a,b,c)=(2,-1,1)$%. В обоих случаях уравнение имеется фактически одно, откуда ясно, что решений на самом деле бесконечно много.

Теперь обоснование того факта, который был использован выше. Рассмотрим систему общего вида $$\left\{\begin{array}{l}a_{11}x+a_{12}y=b_1\\a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{array}\right..$$ Утверждается, что если $%a_{11}a_{22}\ne a_{12}a_{21}$%, то система имеет в точности одно решение. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно выразить из первого уравнения одну из неизвестных, подставляя её во второе уравнение. Например, если $%a_{11}\ne0$%, то $%x=(b_1-a_{12}y)/a_{11}$%, и тогда во втором уравнении, домноженном на $%a_{11}$%, получается $%a_{21}(b_1-a_{12}y)+a_{11}a_{22}y=a_{11}b_2$%, где при $%y$% возникает ненулевой коэффициент. Тогда на него можно поделить и найти $%y$%, а потом через $%y$% однозначно выразить $%x$%. Решение при этом будет всего одно.

В оставшемся не рассмотренном случае $%a_{11}=0$% получается, что $%a_{12}\ne0$% и $%a_{21}\ne0$%. Тогда $%y$% сразу находится из первого уравнения, и далее $%x$% из второго.

ссылка

отвечен 29 Ноя '13 18:07

Значит всего два ответа? (-2; -1; 1) (0; 0; 9/4)?

(29 Ноя '13 19:59) Amalia

а я все поняла, спасибо

(29 Ноя '13 20:00) Amalia

@Amalia: да, здесь два ответа, только в первом $%a=2$%, а не -2.

(29 Ноя '13 20:01) falcao

Это я из-за невнимательности, спасибо за помощь

(29 Ноя '13 20:03) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×461
×100

задан
29 Ноя '13 16:54

показан
829 раз

обновлен
29 Ноя '13 20:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru