Система с параметрами

Прежде всего, из условия задачи следует, что $%a=-2b$% и $%4c=9+5b$% (подставляем в систему значения $%x=1$%, $%y=3$% и упрощаем). Далее, из того, что система имеет бесконечно много решений, следует, что строки коэффициентов в левой части должны быть пропорциональны друг другу (см. обоснование ниже). Это значит, что $%ac=-b(c+1)$% (произведения коэффициентов, взятые "крест-накрест", равны). Из этого уравнения с учётом предыдущих следует, что $%b=0$% или $%c=-1$%. В каждом из этих случаев находятся остальные числа, и получается две возможности: $%(a,b,c)=(0;0;9/4)$% или $%(a,b,c)=(2,-1,1)$%. В обоих случаях уравнение имеется фактически одно, откуда ясно, что решений на самом деле бесконечно много.

Теперь обоснование того факта, который был использован выше. Рассмотрим систему общего вида $$\left\{\begin{array}{l}a_{11}x+a_{12}y=b_1\\a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{array}\right..$$ Утверждается, что если $%a_{11}a_{22}\ne a_{12}a_{21}$%, то система имеет в точности одно решение. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно выразить из первого уравнения одну из неизвестных, подставляя её во второе уравнение. Например, если $%a_{11}\ne0$%, то $%x=(b_1-a_{12}y)/a_{11}$%, и тогда во втором уравнении, домноженном на $%a_{11}$%, получается $%a_{21}(b_1-a_{12}y)+a_{11}a_{22}y=a_{11}b_2$%, где при $%y$% возникает ненулевой коэффициент. Тогда на него можно поделить и найти $%y$%, а потом через $%y$% однозначно выразить $%x$%. Решение при этом будет всего одно.

В оставшемся не рассмотренном случае $%a_{11}=0$% получается, что $%a_{12}\ne0$% и $%a_{21}\ne0$%. Тогда $%y$% сразу находится из первого уравнения, и далее $%x$% из второго.