функциональный-анализ - Равномерная сходимость последовательности операторов

Исходя из покоординатной сходимости заключаем, что $%A_nx\to Ax=(x_1,0,0,...)$%. Проверяем поточечную сходимость: $$\|A_nx-Ax\|=\frac{|x_n|}{n}+\frac{|x_n|}{n}+\frac{|x_{n+1}|}{n+1}+...+\frac{|x_{2n}|}{2n}.$$ Поскольку $%x\in c_0$%, то по произвольному $%\varepsilon>0$% подберём $%N\in\mathbb{N}$% таким, что при всех $%n\ge N$% имеем $%|x_n|<\varepsilon$%, тогда при $%n\ge N$% получим $$\|A_nx-Ax\|<\varepsilon\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\right).$$ Поскольку $%\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}\to \ln2<2$%, то, при достаточно больших $%n$%, получим, что $%\|A_nx-Ax\|<2\varepsilon$%, что обосновывает поточечную сходимость. Равномерной сходимости нет, ибо для элемента $%x_n=(0,...,0,1,...,1,0,0,...)$% (единицы стоят на местах с $%n$%-го по $%2n$%-е) будем иметь $$\frac{\|A_nx_n-Ax_n\|}{\|x_n\|}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\to\ln2>\ln\frac{3}{2},$$ поэтому, начиная с некоторого момента, $%\dfrac{\|A_nx_n-Ax_n\|}{\|x_n\|}>\ln\frac{3}{2}$% и $%\|A_n-A\|\not\to0.$%