вычислить $%\sin^2(\pi/7)\cdot\sin^2(2\pi/7)\cdot\sin^2(3\pi/7)$%

задан 29 Ноя '13 21:00

изменен 29 Ноя '13 22:14

falcao's gravatar image


209k1636

Я решал через составление кубического уравнения, которому удовлетворяет число $%\cos\frac{\Pi}7$%, но помещать решение не стал, потому что рассуждение, предложенное @Lyudmyla, короче и лучше. Но в принципе можно решать и таким "кондовым" способом, как я делал.

(30 Ноя '13 1:39) falcao

а это как ? интересно

(30 Ноя '13 15:09) parol

Я в двух словах расскажу, а детали Вы сами сможете восстановить. Хорошее кубическое уравнение получается для числа $%x=2\cos(\pi/7)$%. Если выразить через $%x$% косинус тройного угла, то получится угол $%3\pi/7=\pi/2-\pi/14$%, откуда мы выражаем $%\sin(\pi/4)$%, а через него выражается $%x$%. После несложных упрощений возникает кубическое уравнение вида $%f(x)=0$%. Теперь, зная это, мы можем посчитать значение любого многочлена от $%x$%, деля его на $%f(x)$% с остатком. В этой задаче через $%x$% всё как раз легко выражается.

(30 Ноя '13 17:23) falcao

чуть чуть не понятно

(1 Дек '13 13:58) parol

я сделал тоже уравнением вышо 7/64

(1 Дек '13 14:08) parol

У меня там опечатка: должен быть, конечно, синус $%\pi/14$%.

(1 Дек '13 14:38) falcao

я просто приравнял sin(3pi/7) = sin(4pi/7)

(1 Дек '13 14:40) parol

Да, такая идея тоже работает: когда угол удваивается, произведения вычисляются по общему принципу. Но я не это имел в виду.

(1 Дек '13 15:22) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим уравнение $%x^7-1=0$%. Его корни $% x_1=1; x_2=\cos(2\pi/7)+i\cdot \sin(2\pi/7); x_3=\cos(4\pi/7)+i\cdot\sin(4\pi/7);...;$% $%x_7=\cos(12\pi/7)+i\cdot\sin(12\pi/7)$% делят окружность единичного радиуса на 7 равных частей. Тогда разложение $%x^7-1=(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_7)$% , откуда $%(x^7-1)/(x-1)=((x-x_2)(x-x_7))\cdot((x-x_3)(x-x_6))\cdot(x-x_4)(x-x_5)$% или $%x^6+x^5+...+x+1=(x^2-2x\cos(2\pi/7)+1)(x^2-2x\cos(4\pi/7)+1)(x^2-2x\cos(6\pi/7)+1)$%. Равенство имеет место при любом х, при $%x=1$% получим $%7=(2-2\cos(2\pi/7))(2-2\cos(4\pi/7))(2-2\cos(6\pi/7))$% после использования половинного угла то, что нужно получить. Ответ 7/64.

ссылка

отвечен 29 Ноя '13 23:06

изменен 29 Ноя '13 23:10

falcao's gravatar image


209k1636

У меня есть и другое решение - без использования комплексных чисел, но набирать формулы сложно, а прикрепить написанное не умею. Могу сбросить на почту.

(29 Ноя '13 23:12) Lyudmyla

давайте !!! спасибо

(29 Ноя '13 23:23) parol
10|600 символов нужно символов осталось
7

link text

Наверное, как у Lyudmyla

ссылка

отвечен 29 Ноя '13 23:54

изменен 2 Дек '13 23:14

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×827
×493

задан
29 Ноя '13 21:00

показан
1142 раза

обновлен
1 Дек '13 15:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru