На сторонах AB и AD квадрата ABCD со стороной 16 отмечены точки E и F соответственно. Угол ECF равен 30∘. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к отрезкам CE и CF. Какая наибольшая площадь может быть у четырехугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?

задан 30 Ноя '13 19:58

изменен 2 Дек '13 23:12

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Эту задачу здесь на моей памяти помещали много-много раз, но решения, насколько я знаю, никто так и не дал. Попробую поэтому изложить то, что у меня получилось. Несколько смущает то, что в ответе получается постоянная величина. Всё время кажется, будто я чего-то недосмотрел. Но если так, пусть потом кто-нибудь из участников форума на это укажет.

Здесь можно ввести один параметр в виде угла, определяющего все дальнейшие построения, и далее всё через него выразить. Квадрат я буду считать единичным: в конце площадь можно будет умножить на $%16^2$%.

Итак, я ввожу обозначения $%B_1$%, $%D_1$% для оснований перпендикуляров, опущенных из $%B$% и $%D$% соответственно на отрезок $%CE$%, а также $%B_2$% и $%D_2$% для отрезка $%CF$%. Расположение точек там получается однозначное в том смысле, что $%D_1$% находится ближе к вершине $%C$% по сравнению с $%B_1$%, а $%B_2$% ближе по сравнению с $%D_2$%. Исходя из этого, площадь четырёхугольника $%B_1D_1B_2D_2$% равна разности площадей двух треугольников: $%CB_1D_2$% и $%CD_1B_2$%.

Величину угла $%BCE$% обозначим через $%\varphi$%. Соответственно, угол $%DCF$% будет равен $%\pi/3-\varphi$%, чтобы в сумме с углом $%ECF$% получался прямой угол. Теперь легко выразить длины интересующих нас отрезков -- для последующего нахождения площадей треугольников: $%CB_1=\cos\varphi$%; $%CD_2=\cos(\pi/3-\varphi)$%; $%CD_1=\cos(\pi/2-\varphi)=\sin\varphi$%; $%CB_2=\cos(\pi/6+\varphi)=\sin(\pi/3-\varphi)$%. В итоге разность площадей треугольников будет равна $$\frac12\sin(\pi/6)\cdot(CB_1\cdot CD_2-CD_1\cdot CB_2),$$ то есть $$\frac12\sin(\pi/6)(\cos\varphi\cos(\pi/3-\varphi)-\sin\varphi\sin(\pi/3-\varphi))=\frac12\sin(\pi/6)\cos(\pi/3)=\frac18.$$ После умножения на $%16^2$% получится $%32$%.

ссылка

отвечен 30 Ноя '13 21:07

1

@falcao,в случае если угол равен 60 градусов, площадь будет равна 96?

(14 Дек '13 10:39) IvanLife
1

@IvanLife: да, там в конце поменяются местами числа $%\pi/6$% и $%\pi/3$%, то есть вместо $%1/8$% будет $%3/8$%, и площадь будет в 3 раза больше.

(14 Дек '13 12:53) falcao

Не могли бы вы помочь решить задачу, где угол будет равняться 60 градусам?

(5 Янв '14 17:24) Стася12345

@falcao, может я чего-то не понимаю, но если таким образом опускать перпендикуляры, то четырехугольника не получится

(5 Янв '14 17:26) Стася12345

@Стася12345: а здесь в комментариях сказано про случай 60 градусов. Изменения в решении при этом совершенно минимальные.

(5 Янв '14 17:27) falcao

@falcao, слледует нем не обязательно знание углов и ответ будет один и тот же в любом случае?

(5 Янв '14 17:44) Стася12345

@Стася12345: ответ может отличаться (см. обсуждение в комментариях), но отличается предсказуемым образом. Надо проследить весь ход решения и подставить другое значение угла везде, где это требуется. Там меняются ролями $%\pi/6$% и $%\pi/3$%, что сказывается на итоговом численном значении. Но принцип решения от этого не меняется: никаких дополнительных идей не нужно использовать.

(5 Янв '14 17:58) falcao

Спасибо, и все же я очень запуталась в самом решении начиная с перпендикуляров, которые никак не образуют четырехугольник, а так же в подстановке значений

(5 Янв '14 18:18) Стася12345

Объясните пожалуйста как CB1=cosφ?

(6 Янв '14 21:57) Anna1

@Anna1: обратите внимание на то, что у меня для простоты вычислений рассматривается единичный квадрат, то есть его стороны приняты за единицу. Тогда требуемое равенство следует из свойства, что катет равен произведению гипотенузы (равной здесь 1) на косинус прилежащего угла.

(6 Янв '14 22:03) falcao

Спасибо, я с рисунком напутала

(6 Янв '14 22:29) Anna1
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
0

Да, действительно, площадь не зависит от угла fi. Это делается часто, если нужен только ответ без решения. Представьте, в задаче не требуется найти наибольшую площадь. Тогда решающий понимает, что площадь одинакова при любом угле fi. И выбирает наиболее простой случай (симметричный, например) и находит площадь, не задумываясь, о том, что это был частный случай. А в нашем случае ему приходится решать задачу в общем виде и потом только он догадывается о "хитрости" составителей

ссылка

отвечен 1 Дек '13 19:19

@Nynko: да, разумно. Я не знал всех особенностей этой системы автоматического приёма ответов.

(1 Дек '13 19:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,828
×2,424
×485

задан
30 Ноя '13 19:58

показан
3237 раз

обновлен
11 Янв '14 16:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru