Здравствуйте!

Не сходится с ответом, это нер-во: $$\log_{3}{ \frac{x-7}{2x-5}} < 0$$ Я по свойству избавился от деления(представил как разность), перенёс, затем решил нер-во, но ответ не верный. Потом попробовал решить тоже неравенство, но с модулем, рассмотрел три случая, но ответ всё равно не верный.

Как его решить? Я логарифмы в школе не проходил пока, если можно вкратце назовите свойства.

Спасибо.

PS Ответ в книжке точно верный.

задан 1 Дек '13 11:37

изменен 4 Дек '13 21:18

Deleted's gravatar image


126

У каждого правила есть условия применения. Скажем, свойство "логарифм частного равен разности логарифмов" формулируется только для положительных чисел. Но в данном примере числа могут быть одновременно отрицательными, и тогда логарифм частного определён, а логарифмы числителя и знаменателя -- нет. Это как с квадратным корнем: тождество $%\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$% тоже не всегда применимо.

(1 Дек '13 12:38) falcao

@falcao, а как его тогда решить? Разве можно представить 0 в виде логарифма? Т3.е. Взять логарифм три от трёх, а потом как обычное неравенство решить? Надо ли записывать одз?

(1 Дек '13 15:01) ВладиславМСК
1

@ВладиславМСК: так ведь Вам уже изложили два решения! Число 0, конечно же, можно представить в виде логарифма -- это будет логарифм единицы. Обратите внимание, что под логарифмом может быть только положительное число, но сам логарифм может принимать какие угодно значения. Десятичный логарифм числа $%10^{-6}$%, например, равен $%6$% чисто по определению. Вообще, полезно начать не с решения задач, а с определений и основных свойств, или же делать то и другое вместе. Но определения надо освоить в первую очередь.

(1 Дек '13 15:15) falcao

И да, автор, если не сложно поправьте название темы, ибо логАрифмические нер-ва

(1 Дек '13 21:20) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%\log_{3}{ \frac{x-7}{2x-5}} < 0 \Leftrightarrow 0<\frac{x-7}{2x-5}<3^0 \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x-7}{2x-5}<1\\ \frac{x-7}{2x-5}>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x-7}{2x-5}-1<0\\ (x-7)(2x-5)>0 \end{cases} \Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x-7-2x+5}{2x-5}<0\\ (x-7)(2x-5)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{x+2}{2x-5}>0\\ (x-7)(2x-5)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+2)(2x-5)>0\\ (x-7)(2x-5)>0 \end{cases} \Leftrightarrow$%

$%\Leftrightarrow \begin{cases}x\in(-\infty;-2)\cup (2.5;\infty)\\ x\in(-\infty;2.5)\cup (7;\infty) \end{cases} \Leftrightarrow x\in(-\infty;-2)\cup (7;\infty)$%

ссылка

отвечен 1 Дек '13 12:17

изменен 2 Дек '13 17:41

Куда логорифм делся?

(1 Дек '13 14:58) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: логарифмическая функция по основанию $%3$% является возрастающей. Поэтому из $%\log_3a < \log_3b$% следует $%a < b$%, а для положительных чисел верно и обратное.

(1 Дек '13 15:17) falcao

@falcao, у меня 2-я часть неравенства не получается.

(1 Дек '13 20:29) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: не получается в каком смысле? Непонятно, как к нему пришли, или оно не решается? Если первое, то там достаточно заметить, что $%0=\log_33^0=\log_31$%, и получится $%\frac{x-7}{2x-5} < 1$%. Дальше всё как обычно: перенос в одну часть, приведение к общему знаменателю и метод интервалов.

(1 Дек '13 20:34) falcao

@falcao,Я так и решаю. Но второй интервал должен быть от 7 до бесконечности, а он не получается. просто, если записать одз только для случая >0 то всё верно, но почему не рассматривается случай(в одз), когда они оба меньше 0?

(1 Дек '13 21:03) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: Вам надо решить систему из двух неравенств. Первое -- это то, что дробь больше нуля. Второе -- которое написано чуть выше. Можно рассмотреть два случая. Первый: $%2x-5 > 0$%. Тогда из первого $%x > 7$%, а из второго $%x-7 < 2x-5$%, то есть $%x > -2$%. Пересечение даёт $%x > 7$%. Это часть множества решений. Теперь, если $%2x-5 < 0$%, то из первого $%x < 7$%, а из второго $%x-7 > 2x-5$% (знак меняется). Тут получается $%x < -2$%, Итого $%x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)$%.

(1 Дек '13 23:38) falcao

@falcao, почему не рассматривается когда числитель и знаменатель отрицательны.

(2 Дек '13 15:55) ВладиславМСК

@ВладиславМСК: а почему не рассматривается? Я же в качестве одного из случаев рассматриваю $%2x-5 < 0$% (отрицательный знаменатель), и далее из первого неравенства делаю вывод, что $%x < 7$% (отрицательный числитель). И такие числа, например $%x=-10$%, где то и другое отрицательно, входят в ответ.

(2 Дек '13 16:41) falcao

@ВладиславМСК: Я добавила продолжение решения. Может это поможет?

(2 Дек '13 17:45) ASailyan
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

img

здесь в нижнем правом углу есть равносильный переход для вашего неравенства. Просто примените его.

ссылка

отвечен 1 Дек '13 11:50

изменен 2 Дек '13 22:58

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×233

задан
1 Дек '13 11:37

показан
2714 раз

обновлен
2 Дек '13 17:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru