Решите неравенство $$(1/3)^{x^4+3(2x+1)^2} \geq (1/3)^{4x^2(2x+1)}$$

задан 1 Дек '13 15:23

изменен 2 Дек '13 23:13

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь надо прежде всего освободиться от степеней. Показательная функция $%(1/3)^t$% убывает: чем больше $%t$%, тем меньше значение функции. Поэтому показательное неравенство равносильно алгебраическому: $%x^4+3(2x+1)^2\le4x^2(2x+1)$%. Оно решается обычными способами, через разложение на множители. Если его записать в виде $%x^4-4x^2(2x+1)+3(2x+1)^2\le0$%, то можно заметить, что в левой части возникнет полный квадрат, если $%3$% заменить на $%4$%. Это значит, что удобно прибавить к обеим частям неравенства выражение $%(2x+1)^2$%, и тогда будет $%x^4-4x^2(2x+1)+4(2x+1)^2\le(2x+1)^2$%, то есть $%(x^2-2(2x+1))^2\le(2x+1)^2$%. Дальше можно или перейти к модулям, или перенести всё в левую часть, разложив на множители разность квадратов: $%(x^2-3(2x+1))(x^2-(2x+1))\le0$%. Первый сомножители здесь равен $%x^2-6x-3=(x-3)^2-12$%, а второй равен $%x^2-2x-1=(x-1)^2-2$%. Тогда получается разложение уже на линейные множители: $$(x-3-2\sqrt3)(x-3+2\sqrt3)(x-1-\sqrt2)(x-1+\sqrt2)\le0.$$ Тем самым, если упорядочить по величине все корни левой части, записав их как $%x_1 < x_2 < x_3 < x_4$%, то неравенство $%(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\le0$% при решении методом интервалов даст $%x\in[x_1;x_2]\cup[x_3;x_4]$%. В данном случае $%x_1=3-2\sqrt3$%, $%x_2=1-\sqrt2$%, $%x_3=1+\sqrt2$%, $%x_4=3+2\sqrt3$%.

По ходу дела здесь надо проверить, что $%3-2\sqrt3 < 1-\sqrt2$%, что делается либо с использованием приближённых десятичных значений, либо при помощи возведений в квадрат. например, $%\sqrt3 > 1,73$%, откуда $%3-2\sqrt3 < 3-3,46=-0,46$%. С другой стороны, $%\sqrt2 < 1,42$%, откуда $%1-\sqrt2 > -0,42$%.

ссылка

отвечен 1 Дек '13 15:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%(1/3)^{x^4+3(2x+1)^2} \geq (1/3)^{4x^2(2x+1)} \Leftrightarrow x^4+3(2x+1)^2 \le 4x^2(2x+1)\Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow x^4-4x^2(2x+1)+3(2x+1)^2 \le 0$%

Легко проверить, что $%x=-\frac12$% не удовлетворяет неравенству.Значит $%(2x+1)^2>0.$%Разделим обе части неравенства на $%(2x+1)^2,$% получим равносильное неравенство:

$%\frac{x^4}{(2x+1)^2}-\frac{4x^2(2x+1)}{(2x+1)^2}+\frac{3(2x+1)^2}{(2x+1)^2} \le 0\Leftrightarrow (\frac{x^2}{2x+1})^2-4\frac{x^2}{2x+1}+3 \le 0.$% Сделаем обозначение: $%t=\frac{x^2}{2x+1},$% неравенство примет вид $%t^2-4t+3\le0 \Leftrightarrow t\in[1;3].$%

И так $% 1\le \frac{x^2}{2x+1} \le3 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x+1\le x^2\\x^2\le 6x+3\\2x+1>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2x-1\ge0\\x^2-6x-3\le 0\\2x+1>0 \end{cases}$%. Последняя система не трудно решить.

ссылка

отвечен 1 Дек '13 16:54

изменен 1 Дек '13 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×340

задан
1 Дек '13 15:23

показан
2649 раз

обновлен
1 Дек '13 17:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru