Совместная плотность распределения случайных величин X и Y задается формулой (см. ссылку). При других значениях аргументов совместная плотность считается равной нулю. Найти математическое ожидание и дисперсию каждой из случайных величин X и Y и корреляцию этих случайных величин.

img

задан 1 Дек '13 16:59

изменен 2 Дек '13 23:13

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут нужно найти несколько интегралов. Например, математическое ожидание величины $%X$% будет равно интегралу от произведения функции $%x$% на плотность, то есть $$MX=\frac12\int\limits_0^{\pi/2}dy\int\limits_0^{\pi/2}x\sin(x+y)\,dx.$$ Тут надо применить интегрирование по частям. У меня получилось $%MX=\pi/4$%. Второе матожидание точно такое же из соображений симметрии, то есть $%MY=\pi/4$%.

Для нахождения дисперсии величины $%X$% надо сначала проинтегрировать функцию $%x^2f(x,y)$%, находя $$MX^2=\frac12\int\limits_0^{\pi/2}dy\int\limits_0^{\pi/2}x^2\sin(x+y)\,dx.$$ Здесь также в результате интегрирования по частям получается ответ. У меня вышло $%MX^2=\pi^2/8+\pi/2-2$%. Отсюда находим дисперсию: $%DX=MX^2-(MX)^2=\pi^2/16+\pi/2-2$%. Дисперсия у $%Y$% точно такая же.

Теперь надо найти ковариацию, для чего сначала находим матожидание произведения величин. Здесь интегрируется функция $%xyf(x,y)$%. Получается $$MXY=\frac12\int\limits_0^{\pi/2}y\,dy\int\limits_0^{\pi/2}x\sin(x+y)\,dx.$$ С помощью тех же приёмов оказывается, что $%MXY=\pi/2-1$%. Ковариация, тем самым, равна $%{\mathop{\rm cov}}(X,Y)=MXY-MX\cdot MY=\pi/2-\pi^2/16-1$%. Наконец, для коэффициента корреляции получается значение, равное $$\frac{\mathop{\rm cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}.$$ Приближённо это равно $%-0,245$%.

Я всё считал в довольно быстром темпе, так что рекомендуется тщательно перепроверить.

ссылка

отвечен 1 Дек '13 19:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вычисляйте интегралы $$M(X^nY^m)=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} \frac{x^ny^m}{2}\;\sin(x+y)\;dx \,dy... $$ Считаются они не сложно...

ссылка

отвечен 1 Дек '13 19:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,846

задан
1 Дек '13 16:59

показан
840 раз

обновлен
1 Дек '13 19:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru