При некоторых значениях параметра a уравнения $%20x^4+30x^3-(20a+2)x^2-3x+2=0$% и $%10x^4+30x^3+(2a+17)x^2-(1+2a)x-2=0$% имеют общие действительные корни. Найдите все эти корни.

задан 1 Дек '13 21:36

изменен 2 Дек '13 23:11

Deleted's gravatar image


126

@Multi_cast, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(1 Дек '13 22:57) student

$$20x^{4} + 30x^{3} - (20a +2)x^{2} - 3x + 2 = 0$$ $$10x^{4} + 30x^{3} + (2a + 17)x^{2} - (1 + 2a)x - 2 = 0$$

(1 Дек '13 23:22) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть при каком-то значении этого параметра уравнения имеют общие корни. Значит, они же будут корнями у любой суммы вида $%\alpha(x)f(x)+\beta(x)g(x),$% где $%\alpha,\beta$% - какие-то многочлены.
Пусть первый многочлен - это $%f(x),$% а второй - $%g(x).$%
Подберём коэффициенты так, чтоб исчезла четвёртая степень. Тогда $%\alpha(x) = -1, \space \beta(x)=2, $% и получится $%30x^3+(36+24a)x^2+(1-4a)x-6=0.$% Пусть это $%g_1(x).$%
Поделим с остатком $%g(x)$% на $%g_1(x)$% и получим некий многочлен $%g_2(x).$% И так далее (нужно находить остаток от деления многочлена более высокой степени на многочлен более низкой).
В итоге получится какой-то многочлен от параметра $%a.$% У него нужно найти корни, а потом подставить их во все многочлены более высоких степеней, получившихся при делении с остатком - если в случае $%g_3(x)$% вышло выражение $%0=0,$% подставить в $%g_2(x),$% пока не получится ненулевое выражение. Каждое это выражение - это наибольший общий делитель двух многочленов при каждом $%a,$% а его корни (и никакие другие числа) - общие корни двух многочленов.

ссылка

отвечен 1 Дек '13 23:54

изменен 2 Дек '13 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

Начал решать также( примерно) и ошибся в сложении. Благодаря trongsund нашел ошибку. Продолжаю, складываем первое и второе уравнение, свободный член уничтожается, делим результат сложения на х, неравный нулю. Получаем 30x^3+60x^2+(15-18a)x-4-2a=0. Вычитаем из уравнения с предыдущего ответа уравнение, полученное здесь. Получаем (24a-24)x^2+(14a-14)x+(2a-2)=0 или. (a-1)*(12x^2+7x+1)=0 a=1 или х=-1/3 и -1/4, потом можно найти а, подставив иксы в уравнение

ссылка

отвечен 2 Дек '13 0:45

изменен 2 Дек '13 0:46

Да, я вот только что применил как раз такой способ. Хорошо, что его уже успели описать :) Значения для $%a$% там получились неочевидные: кроме $%a=1$% (там три общих корня), это ещё $%a=31/36$% для $%x=-1/3$% и $%a=143/80$% для $%x=-1/4$%.

(2 Дек '13 1:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
1 Дек '13 21:36

показан
702 раза

обновлен
2 Дек '13 1:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru