дифференцирование - Как проверить непрерывно дифференцируема ли функция?

Найти производную, а потом посмотреть, будет ли она непрерывна. При этом производная всюду должна существовать -- в противном случае функция дифференцируемой, а потому не будет и непрерывно дифференцируемой.

а как проверить на непрерывность?

Надо иметь в виду, что все "хорошие" функции непрерывны на всей области определения. Разрыв может иметь место в точках, где слева и справа от них функция задана разными выражениями. Тогда надо сравнивать значения этих выражений в точке, даваемых той и другой формулой. Например, если $%f(x)=x^2+1$% при $%x < 1$% и $%f(x)=3x-1$% при $%x\ge1$%, то $%f(x)$% непрерывна в точке $%x_0=1$%: предел слева равен $%1^2+1=2$%, и значение функции, оно же предел справа, равно $%3\cdot1-1=2$%. Значения совпадают, то есть непрерывность имеет место. Если в условии заменить $%3x-1$% на $%3x-2$%, будет разрыв.