Имеется вот такой ряд :$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n^{2}x^{2}}{x+n^{3}}\ln(1+\frac{x^{2}}{n}) E_1:(0;1) E_2:(1;+\infty)$$ Он будет равномерно сходится на первом множестве и неравномерно на втором,после преобразований, на первом множестве, будет вот такая дробь, как ее дальше оценить? $$\frac{x^{2}+n^{2}x^{4}}{nx+n^{4}}$$ И что делать со вторым множеством?

задан 2 Дек '13 11:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

В первом пункте у Вас получилась оценка сверху. Осталось заметить, что числитель меньше $%1+n^2$% при $%x < 1$%, а знаменатель больше $%n^4$% при $%x > 0$%. Поэтому члены ряда по модулю ограничены сверху членами сходящегося ряда $%(1+n^2)/n^4$%. Отсюда вытекает равномерная сходимость.

Во втором примере можно рассуждать от противного, исходя из определения. Получится, что $%n$%-й член ряда должен равномерно стремиться к нулю на $%(1;+\infty)$%. В частности для любого $%\varepsilon > 0$% (можно взять число 1) существует $%n_0$% такое, что для всех $%n\ge n_0$% и для всех $%x\in E_2$% модуль $%n$%-го члена функционального ряда будет меньше $%\varepsilon$%. В частности, при $%n=n_0$% это неравенство должно выполняться для всех $%x > 1$%. Что, очевидно, не так, поскольку при фиксированном $%n$% и при $%x\to\infty$% рассматриваемый член ряда будет стремиться к бесконечности.

ссылка

отвечен 2 Дек '13 11:57

А можно спросить как это можно расписать более формально? Почему из определения равномерной сходимости $$\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon)\forall n>N(\varepsilon)\forall x\in E:|r_n(x)|<\varepsilon$$ следует что n-ый член должен равномерно стремиться к нулю?

(8 Дек '13 11:46) Jhon

@Jhon: поскольку при $%x > 1$% все члены ряда положительны, то из неравенства $%|r_n| < \varepsilon$%, которое Вы написали, следует, что сумма ряда, состоящего из всех членов, начиная с $%n$%-го, меньше $%\varepsilon$%. Тогда и $%n$%-й член будет меньше $%\varepsilon$%, а он совпадает со своим модулем. Получится в точности то, что у меня утверждалось. То есть идёт ослабление неравенства $%a_n+a_{n+1}+\cdots < \varepsilon$% до $%a_n < \varepsilon$%.

(8 Дек '13 12:25) falcao

А как формально показать , что рассматриваемый член ряда будет стремиться к бесконечности?

(8 Дек '13 13:25) Jhon

@Jhon: зафиксируем $%n$%. Разделим числитель и знаменатель дроби на $%x^4$%. Получится $$\frac{n^2+x^{-2}}{nx^{-3}+n^4x^{-4}}.$$ При $%x\to\infty$% числитель стремится к $%n^2$%, а знаменатель к нулю. Значит, предел равен бесконечности.

(8 Дек '13 13:39) falcao

То есть на втором множестве тоже можно применить оценку для логарифма?

(8 Дек '13 14:14) Jhon

@Jhon: я сейчас только обратил внимание, что рассуждал про тот ряд, общий член которого у Вас указан в конце. Но это была оценка сверху для первого случая, а нам нужна во втором случае оценка снизу. Тогда надо добавить вот какое соображение: при фиксированном $%n$% и большом $%x$% логарифм будет больше единицы, и останется дробь $%\frac{1+n^2x^2}{x+n^3}$%. Для неё так же точно делим числитель и знаменатель на $%x^2$% и получаем, что она стремится к бесконечности при фиксированном $%n$%, где $%x\to+\infty$%.

(8 Дек '13 15:30) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×422

задан
2 Дек '13 11:31

показан
1022 раза

обновлен
8 Дек '13 15:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru