Доброго времени суток. Хотелось бы получить помощь по данной задаче. Хотя бы порядок действий узнать. Условие: Вычислить (-3+3sqrt(3)i * (2e^((5pi/6)i)^2)/(4((cos(pi/8)+i*sin(pi/8))^12) и ответ записать в алгебраической форме.

задан 2 Дек '13 18:08

возвращен 2 Дек '13 22:49

Deleted's gravatar image


126

Прежде чем говорить о порядке действий, нужно аккуратно записать условие, не пропуская ни одного символа. Пока что здесь пропущена одна из скобок. Если её добавить, то окажется, что перед нами частное, то есть последней будет операция деления. Сначала надо отдельно преобразовать числитель, а потом знаменатель. Лучше всего то и другое записать в экспоненциальной форме. То есть вынести в числителе множитель 3 и представить $%-1+\sqrt3$% как $%2\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)=2e^{2\pi i/3}$%.

(2 Дек '13 18:37) falcao

Да, только там всё ещё проще: 4 в степени пойдёт отдельным множителем, а при возведении в 12-ю степень тригонометрической формы, превращённой в экспоненциальную, получится угол $%12\pi/8=3\pi/2$%. Потом при делении надо использовать свойства степеней, и в самом конце получить алгебраическую форму.

(2 Дек '13 19:08) falcao

Пока не совсем так: в числителе есть возведение в квадрат, и по логике вещей, в эту степень должна возводиться экспонента. Из-за того, что условие записано в неудобной форме и плохо виден принцип расстановки скобок, я подумал, что 4 возводится в 12-ю степень, но там оно отдельно стоит. Вообще, полезно было бы записать условие без ошибок в более ясной форме.

(2 Дек '13 21:16) falcao
1

$$\frac{(-3+3\sqrt3i)\cdot(2e^{5i\pi/6})^2}{4(\cos(\pi/8)+i\sin(\pi/8))^{12}}$$

Так условие выглядит?

(2 Дек '13 21:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я удалил несколько комментариев, но не могу разместить новый, поэтому приходится писать здесь. Там осталось совсем немного: в числителе и в знаменателе появляются выражения вида $%re^{i\varphi}$%. Мы в итоге делим друга на друга $%r_1e^{i\varphi_1}$% и $%r_2e^{i\varphi_2}$%. Получится $%(r_1/r_2)e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$%. После этого останется перейти к алгебраической форме.

Добавление. Комментарии оставлять уже негде, поэтому пишу добавление.

Начнём с повторения школьного материала. Задача: упростить алгебраическое выражение $$\frac{6a^7\cdot4a^4}{8a^5}.$$ Решение: коэффициент будет равен $%\frac{6\cdot4}8=3$%, далее $%a^7\cdot a^4=a^{7+4}=a^{11}$% (при умножении показатели складываются); $%\frac{a^{11}}{a^5}=a^{11-5}=a^6$% (при делении показатели вычитаются). Ответом будет $%3a^6$%.

Для комплексных чисел действуют те же правила. От перестановки сомножителей произведение не меняется, поэтому коэффициенты собираются вместе и подсчитываются отдельно, а для всего остального действуют правила сложения и вычитания показателей. Например: $$\frac{2e^{4-3i}\cdot10\cdot e^{7+8i}}{5e^{-3+2i}}.$$ Здесь $%2\cdot10/5=4$%, а $%e$% возводится в степень $%(4-3i)+(7+8i)-(-3+2i)=14+3i$%. Ответом будет $%4e^{14+3i}$%.

Предостережение: ни в коем случае нельзя переносить $%i$% из показателя в "основную" строку. Например, $%e^{\frac54\pi i}$% -- это не то же самое, что $%e^{\frac54\pi}i$%. Я на эту ошибку уже указывал многократно, но она почему-то продолжает совершаться.

Я очень надеюсь, что этой информации будет достаточно для окончательного решения "многострадального" примера.

ссылка

отвечен 4 Дек '13 5:26

изменен 5 Дек '13 17:46

Здесь нет уравнения, а есть выражение. Оно у меня воспроизведено в комментарии. Сначала выделяется множитель 3, потом $%-1+\sqrt3i$% переводится в экспоненциальный вид. Так же точно поступаем с косинусами, и возводим в 12-ю степень. То есть просто перечитайте всё с самого начала и сделайте то, что там написано. Что получится в итоге?

(4 Дек '13 14:07) falcao

Первый сомножитель в числителе написан верно. Во втором сомножителе сделано что-то не то. Вы возводите произведение в квадрат. Правила такие же, как и для обычных чисел, то есть $%(ab)^2=a^2b^2$%. То есть $%2^2=4$%, и $%(e^{i\varphi})^2=e^{2i\varphi}$% по свойствам степеней. Число $%i$% находится в показателе, и сомножителем не становится. Последнее касается также и знаменателя.

После этого остаётся отдельно собрать постоянные множители, и отдельно -- выражения вида "е в степени". Опираться надо на свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении -- вычитаются.

(4 Дек '13 20:57) falcao

У нас с Вами какое-то упорное непонимание. Посмотрите внимательно, что я написал выше -- как возводится в квадрат произведение, и примите во внимание такой общеизвестный факт, что дважды два -- это не два, а всё-таки четыре!

Множитель $%i$% в показателе степени у Вас куда-то исчез, а дробь 10/6 имеет смысл сократить до 5/3.

Как привести сомножители к общей форме, у меня написано. Объясняю ещё раз, что при перемножении $e^a$ и $e^b$ получается $e^{a+b}$ (показатели складываются). При делении $e^a$ на $e^b$ получается $e^{a-b}$ (показатели вычитаются).

(4 Дек '13 23:26) falcao

Да, конечно. У комплексных чисел и их степеней те же свойства, что и у чисел действительных. Здесь $%(e^z)^2=e^{2z}$%, как обычно. Правила здесь самые простые и естественные. Вы когда сделаете всё до конца, то увидите короткий путь от начала к цели. Ради этого стоит постараться.

(5 Дек '13 14:21) falcao

Большое спасибо, хотя я так и не увидел "короткого пути".

(6 Дек '13 13:17) liberation
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×386

задан
2 Дек '13 18:08

показан
741 раз

обновлен
6 Дек '13 13:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru