Известно, что при выпуске двух видов товаров издержки фирмы описываются функцией $%C=6x_1^2+4x_1 x_2+x_2^2$%, где $%x_1$% - объем выпуска товара А, $%x_2$%- объем выпуска товара В. Зная, что товар А реализуется по цене 180 руб., а товар В – по цене 80 руб., выяснить, при каких объемах выпуска $%x_1$%, $%x_2$% фирма получит максимальную прибыль.

задан 2 Дек '13 19:28

изменен 2 Дек '13 22:51

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Надо максимизировать значение функции "доход минус издержки". Вместо этого мы рассмотрим величину с противоположным знаком ("издержки минус доход"), и будем её минимизировать: $$f(x_1,x_2)=6x_1^2+4x_1x_2+x_2^2-180x_1-80x_1\to\min$$ Преобразуем форму при помощи метода Лагранжа, приводя её к главным осям: $$f(x_1,x_2)=6(x_1^2+2x_1(\frac13x_2-15)+(\frac13x_2-15)^2)-6(\frac13x_2-15)^2)+x_2^2-80x_2,$$ что равно $$6(x_1+\frac13x_2-15)^2+\frac13x_2^2-20x_2-1350,$$ и в итоге это даёт $$f(x_1,x_2)=6(x_1+\frac13x_2-15)^2+\frac13(x_2-30)^2-1650.$$ Наименьшее значение получается при условии, когда в квадрат возводятся числа, равные нулю, то есть $%x_2=30$%, $%x_1=15-\frac13x_2=5$%. Эти величины неотрицательны, то есть они подходят по смыслу. Таким образом, $%x_1=5$%, $%x_2=30$%, и максимальная прибыль составляет $%1650$% рублей.

ссылка

отвечен 2 Дек '13 20:14

спасибо большое, просто огромное!!!!!!!!!!!!!!!!

(2 Дек '13 20:28) ymnenkaya
10|600 символов нужно символов осталось
0

А можно просто продифференцировать функцию отдельно по $%x_1$% и $%x_2$% и приравнять обе штуки к 0:
$%\partial f/\partial x_1=12x_1+4x_2-180=0$%
$%\partial f/\partial x_2=4x_1+2x_2-80=0$%
Видим, что это будет минимум, ведь $%6 \cdot 1 - 4 > 0.$%
Решаем систему уравнений, получив, что $%x_1=5, x_2=30,$% подставляем и радуемся жизни)

ссылка

отвечен 4 Дек '13 1:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,860

задан
2 Дек '13 19:28

показан
811 раз

обновлен
4 Дек '13 1:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru