Дано: $%\left( {R, + , \cdot } \right)$% — коммутативное кольцо, $%A(R,R)$% — множество всех отображений $%R \to R$%.

Требуется показать, что следующее отображение является гомоморфизмом: $$ \phi: R[X] \to A(R,R), \sum\limits_{i = 0}^n {a_i X^i } \mapsto \left( {r \mapsto \sum\limits_{i = 0}^n {a_i r^i } } \right)$$


Я попробовал сделать вот что: $$ \phi \left( {p + q} \right) = \phi \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {a_i X^i } + \sum\limits_{i = 0}^n {b_i X^i } } \right) = \phi \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\left( {a_i + b_i } \right)X^i } } \right) = r \mapsto \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {a_i + b_i } \right)r^i }$$ (Для многочленов p и q). Верно ли это? Или на выходе из $%\phi$% должно получаться что-то вообще другое?

И далее: $$ \phi \left( p \right) + \phi \left( q \right) = ... = \left( {r \mapsto \sum\limits_{i = 0}^n {a_i r^i } } \right) + \left( {r \mapsto \sum\limits_{i = 0}^n {b_i r^i } } \right) \stackrel{верно?}= r \mapsto \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {a_i r^i } + \sum\limits_{i = 0}^n {b_i r^i } } \right) = \\ =r \mapsto \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {a_i + b_i } \right)r^i } $$

задан 3 Дек '13 2:08

изменен 3 Дек '13 18:20

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

У этого упражнения смысл почти тавтологичный. Все проверки здесь прямые. Поскольку речь идёт о гомоморфизме колец, то на $%A(R,R)$% должна быть задана структура кольца. Под суммой и произведением двух отображений понимается их сумма и произведение как функций. То есть $%(f+g)(r)=f(r)+g(r)$%, и $%(f\cdot g)(r)=f(r)g(r)$%. Соответственно, суммой в конце будет $$r\mapsto\sum\limits_{i=0}^n(a_i+b_i)r^i.$$ Для произведений всё проверяется аналогично. Многочлены перемножаются по одним законам -- что с $%X$%, что с $%r$%. Больше за этим фактом ничего не стоит.

ссылка

отвечен 3 Дек '13 2:24

Значит всё верно, спасибо.

(3 Дек '13 2:32) TopLoader
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×849
×55

задан
3 Дек '13 2:08

показан
976 раз

обновлен
3 Дек '13 2:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru