линейная-алгебра - Еще раз про кольца

Про кольцо $%R$% здесь надо ещё сказать, что оно с единицей -- в противном случае нет возможности говорить об обратимых элементах.

Прежде всего, надо проверить, что умножение будет операцией на $%R^\ast$%. Это проверяется просто: если $%a_1,a_2\in R^*$%, то для них существуют $%b_1,b_2\in R$% такие, что $%a_1b_1=a_2b_2=1$%. Тогда $%a_1a_2\cdot b_2b_1=1$%, и потому $%a_1a_2\in R^\ast$%.

Теперь надо проверить аксиомы группы. Ассоциативность следует из того, что она выполняется в кольце $%R$%. Нейтральным элементом будет единица кольца. Она сама принадлежит $%R^\ast$%, так как $%1\cdot1=1$%. Наконец, аксиома обратных элементов: пусть $%a\in R^\ast$%. Для него по определению имеется $%b\in R$% такой, что $%ab=1$%. Однако здесь есть тонкость: нам нужно более сильное условие: $%b\in R^\ast$%. Оно выполнено, так как $%ba=1$%, и потому $%b$% принадлежит $%R^\ast$%.

Проверка того, что $%R^*$% есть группа относительно умножения, проведена для любого ассоциативного коммутативного кольца с единицей (на самом деле, даже коммутативности не надо, если требовать двух условий $%ab=1$% и $%ba=1$%). Для кольца $%R[X]$% этот же факт будет верен как частный случай.

Наконец, тот факт, что $%R^\ast$% будет подгруппой в $%R[X]^\ast$%, очевиден, поскольку всякий элемент из $%R$% принадлежит $%R[X]$%, и из обратимости элемента в $%R$% следует его обратимость и в $%R[X]$%, так как равенство $%ab=1$% будет иметь место и в $%R[X]$%. Таким образом, $%R^\ast$% есть подмножество в $%R[X]^*$% и является группой относительно операции в $%R[X]^\ast$%, то есть является подгруппой по определению.

При некоторых дополнительных условиях группы $%R^\ast$% и $%R[X]^\ast$% вообще совпадают (например если $%R$% -- целостное кольцо).