0
1

Вычислить сумму: (1/3)+(2/3^2)+(3/3^3)+...+(n/3^n)

задан 3 Дек '13 15:04

изменен 3 Дек '13 15:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут можно несколько методов предложить. Один из них -- это "расслоить" всю сумму на несколько, то есть на $%S_1=1/3+1/3^2+\cdots+1/3^n$%, ..., $%S_k=1/3^k+1/3^2+\cdots+1/3^n$%, ..., $%S_n=1/3^n$%. В каждом случае можно подсчитать сумму геометрической прогрессии, а потом всё сложить.

Другой способ: ввести функцию $%f(x)=x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n$%. Нас интересует $%f(1/3)$%. Легко видеть, что $%f(x)=xg'(x)$%, где $%g(x)=x+x^2+\cdots+x^n$%. Это сумма геометрической прогрессии, и она равна $%g(x)=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$%. Находим производную, домножаем на $%x$%, подставляем $%x=1/3$%, и получается ответ.

В ответе, если не ошибаюсь (считал быстро, не проверял внимательно), получается $$\frac34-\frac{2n+3}{4\cdot3^n}.$$

ссылка

отвечен 3 Дек '13 15:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234

задан
3 Дек '13 15:04

показан
364 раза

обновлен
3 Дек '13 15:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru