На окружности случайно, взаимно независимо и равномерно выбираются 3 точки $% x_1,x_2,x_3 $%. Некоторые точки могут и совпасть, но это, конечно, произойдет с вероятностью 0. Рассмотрим три угла $%\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in [0,2\pi)$%, которые образуют c центром соседние точки $%x_i$% на окружности. Переупорядочим углы по возрастанию величины: $%\alpha_{(1)}\le\alpha_{(2)}\le\alpha_{(3)} $%. Легко видеть, что перестановка значений углов $%\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$% не изменяет величин $% \alpha_{(1)},\alpha_{(2)},\alpha_{(3)} $%. Пусть дано число $% x \in {\mathbb R} $%. Найдите $% {\rm P}\,(\alpha_{(2)} \le x) $%.

Моё решение следующее

Выберем одну (произвольно) из трёх точек (назовём её нулевой) и относительно неё будем вести измерение углов. Рассмотрим следующие события:

$% A_1 $% - угол, образованный лучами, исходящими из центра и проходящими через нулевую точку и первую точку, которая лежит на окружности после неё против часовой стрелки, меньше $%x$%.

$%A_2$%- угол, образованный лучами, исходящими из центра и проходящими через нулевую точку и первую точку, которая лежит на окружности после неё по часовой стрелки, меньше $%x$%.

$%A_3$% - оставшийся угол меньше $%x$%.

Тогда вероятность того,что второй угол по величине меньше величины $%x$% равна:

$%P = P((A_1\cap A_2)\cup(A_3\cap A_1)\cup(A_2\cap A_3)) = P(A_1\cap A_2) + P(A_3\cap A_1) + P(A_2\cap A_3) - $%

$% - 2P(A_1\cap A_2\cap A_3)$%

$%P((A_1\cap A_2) = P((A_3\cap A_2) = P((A_1\cap A_3)= 2*\frac{x^2}{4\pi^2}$% - считается, как отношение площади квадрата со стороной x к квадрату со стороной $%2\pi$%.

$%P(A_1\cap A_2\cap A_3) = \frac{1}{4\pi^2}(x^2 - \frac{(\pi - x)^2}{2})$%

Тогда искомая вероятность примет вид:

$% {\rm P}\,(\alpha_{(2)} \le x) = \frac{x^2}{2\pi^2} - \frac{1}{2\pi^2}\frac{(\pi - x)^2}{2}$%

Мне кажется, что моё решение содержит ошибку, т.к. при $% x =\pi $% вероятность будет 1/2. Не могли бы Вы подсказать, где мои рассуждения в этой задаче неверны?

задан 3 Дек '13 15:47

При x = 0 получается неверная отрицательная вероятность. Мне кажется, что моя ошибка в определении вероятности пересечения трёх событий.

(4 Дек '13 9:02) Ann Orlova

Да, я сейчас посмотрел -- действительно при нахождении вероятности пересечения трёх событий получается неправильный ответ (он, кстати, никак не объяснён, поэтому трудно понять, в чём именно была ошибка). Я сейчас напишу небольшое добавление.

(4 Дек '13 14:52) falcao

Вероятность, что $%\alpha_1$%, $%\alpha_2$% и $%\alpha_3$% меньше x эквивалентно тому, что $%\alpha_1$%, $%\alpha_2$% и $%2\pi-\alpha_1-\alpha_2<x$%. Это так же можно изобразить на плоскости, если по одной оси откладывать значения, которые может принимать $%\alpha_1$%, а по второй оси $%\alpha_2$%. Т.е. $%\alpha_1$% может меняться от 0 до x, аналогично, $%\alpha_2$%. Это изображается квадратом со ст. x. Но в сумме они должны быть больше $%2\pi - x$%. Это ограничение изображается треугольником с вершиной в начале координат, и $%(0, 2\pi -x)$%, $%(2\pi-x, 0)$%. Надо найти разность этих фигур.

(4 Дек '13 15:23) Ann Orlova

Я написал добавление и указал итоговый вид функции распределения.

В тех обозначениях, которые Вы используете, величины $%\alpha_1$% и $%\alpha_2$% представляют собой части разбиения отрезка. То есть это не сами бросаемые точки, а нечто другое. Поэтому их распределения отличаются от равномерного и, вообще говоря, это зависимые случайные величины.

(4 Дек '13 15:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я сейчас посмотрел рассуждение, и мне кажется, что тут есть ошибка в вычислении вероятностей событий вида $%P(A_i\cap A_j)$%. Почему берётся квадрат со стороной $%x$% для нахождения такой вероятности? Это соответствует другому распределению: когда на отрезок бросаются три случайных точки, задающие расстояния от начала отрезка. И тогда вероятность того, что две заданные точки отстоят на расстояние не более $%x$% от начала, изображается квадратом со стороной $%x$%.

В данном же случае всё сложнее, потому что рассматриваются две точки, случайно брошенные на отрезок, и рассматриваются три отрезка разбиения. Подсчитывать тогда нужно вероятность события, когда два или три из них по длине не превосходят $%x$%. Здесь уже само подмножество квадрата оказывается более сложное, причём для $%x\le2\pi/3$% вероятность тройного пересечения равна нулю. Это значит, что ответ, скорее всего, будет иметь не вид полинома от $%x$%, а вид кусочно-полиномиальной функции.

Также надо отметить, что вероятности каждого из событий $%P(A_1\cap A_2)$% и $%P(A_1\cap A_3)$% надо считать по отдельности, так как симметричность здесь не присутствует.

Добавление. Я буду брать за основу отрезок $%[0;1]$% для удобства вычислений, а у функции распределения обозначу переменную через $%t$%, чтобы освободить $%x$% для координаты одной из бросаемых точек. В полученном ответе надо будет заменить переменную $%t$% на $%\frac{t}{2\pi}$%, и тогда получится ответ для распределения на отрезке $%[0;2\pi]$%, то есть на окружности.

Мы бросаем на отрезок $%[0;1]$% две точки $%x$%, $%y$% при равномерном распределении; оба бросания независимы. Отрезок оказывается разделён на три части, и из них выбирается средняя по длине. Это случайная величина $%\xi$%, для которой ищется функция распределения $%F(t)=P\{\xi\le t\}$%. Прежде всего, очевидно, что $%F(t)=0$% при $%t\le0$%, а также то, что $%F(t)=1$% при $%t\ge1/2$%. Последнее вытекает из того, что длина средней по длине части заведомо не больше половины длины всего отрезка.

Во всех случаях, анализируемых выше, при нахождении площадей фигур будет считаться, что $%0 < t < 1/2$%.

Для того, чтобы $%\xi$% не превосходила $%t$%, необходимо и достаточно, чтобы две или три части разбиения по длине не превосходили $%t$%. Без ограничения общности будем считать, что $%x < y$% (координаты брошенных точек), умножая вероятности на $%2$%. Пусть событие $%A_i$% означает, что $%i$%-я часть из списка $%[0;x]$%, $%[x,y]$%, $%[y,1]$%, считая слева направо, имеет длину не более $%t$%, где $%i=1, 2, 3$%. Как было сказано, надо подсчитать следующую величину: $$P(A_1A_2)+P(A_1A_3)+P(A_2A_3)-2P(A_1A_2A_3).$$

Для каждого из первых трёх слагаемых ответом будет $%x^2$%, то есть это согласуется с тем, что было найдено. Например, для $%P(A_1A_2)$% получается область, заданная неравенствами $%x\le t$%, $%y-x\le t$% с учётом неравенства $%x < y$%. Получается параллелограмм с основанием $%t$% и высотой $%t$%. После умножения на два получается площадь $%2t^2$%. Это и есть $%P(A_1A_2)$%.

Значение $%P(A_2A_3)$% такое же из соображений симметрии. Для $%A_1A_3$% имеем неравенства $%x\le t$%, $%1-y\le t$% вместе с $%x < y$%. Здесь получается квадрат $%[0;t]\times[1-t;1]$% со стороной $%t$%, и после удвоения получаем тот же ответ $%2t^2$%.

Теперь рассмотрим событие $%A_1A_2A_3$%. Если оно происходит, то каждый из трёх отрезков по длине не превосходит $%t$%, откуда $%1\le3t$%. Это значит, что при $%t < 1/3$% вероятность такого события равна нулю, и мы можем считать, что $%1/3\le t < 1/2$%. Тогда в области $%x < y$% три линии: $%x=t$%, $%y=1-t$%, $%y-x=t$% ограничивают равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной $%1-3t$%, и его удвоенная площадь будет равна $%P(A_1A_2A_3)=(1-3t)^2$%.

Таким образом, для $%0 < t < 1/3$% функция распределения будет иметь вид $%F(t)=6t^2$%, а при $%1/3\le t < 1/2$% получится $%F(t)=6t^2-2(1-3t)^2=-2+12t-12t^2$%. При $%t\ge1/2$%, как уже говорилось, $%F(t)=1$%.

Для случая окружности ответом будет функция $%F(\frac{t}{2\pi})$%.

ссылка

отвечен 4 Дек '13 8:35

изменен 4 Дек '13 15:46

Спасибо! Теперь всё полностью совпадает с логикой задачи. Не догадалась перейти к отрезку.

(4 Дек '13 16:35) Ann Orlova
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я бы решал следующим образом. Найдём сперва распределение вероятностей углов $%\alpha_i$%. Точки на окружности выбираются равномерно и независимо, поэтому $%\alpha_i \sim R[0,2\pi]$%, поскольку каждая точка на окружности определяется взаимно однозначно своим углом. (в том числе и относительно "нулевой" точки).

Абстрагируемся от исходной задачи, и предположим, что у нас есть только три случайных числа. Расположим их на числовой прямой. Тогда у нас получатся точки $%\alpha_{(i)}$%, расположенные в порядке возрастания.

Найдём плотность вероятности интересующей нас величины. Рассмотрим вокруг точки $%x$% некоторую окрестность $%(x,x+\Delta x)$%. У нас имеется три возможности: Значение величины $%\alpha$% лежит левее этой окрестности с вероятностью $%F_\alpha(x)$%, в этой окрестности с вероятностью $%F_\alpha(x+\Delta x)-F_\alpha(x)$% и правее с вероятностью $%1-F_\alpha(x+\Delta x)$%.

Будем считать, что мы повторили эксперимент с величиной $%\alpha$% три раза, тогда мы знаем, что один раз мы попали в малую окрестность, один раз левее, и один раз правее в случае знания $%\alpha_{(2)}$%. Тогда $$P(x<\alpha_{(2)}< x+\Delta x)=\frac{3!}{1!1!1!}F_\alpha(x)[1-F_\alpha(x+\Delta x)][F_\alpha(x+\Delta x)-F_\alpha(x)]$$

Делим всё на $%\Delta x$% и устремляем его к нулю.

Получим, что $$p_{\alpha_{(2)}}(x)=6F_\alpha(x)[1-F_\alpha(x)]p_\alpha(x)$$

Отсюда уже несложно найти ответ на вопрос, проинтегрировав полученное выражение.

ссылка

отвечен 4 Дек '13 9:52

изменен 4 Дек '13 9:53

В этом случае $%p_\alpha(x) = \frac{x}{2\pi}, F_\alpha(x) =\frac{x^2}{4\pi} $%?

(4 Дек '13 10:23) Ann Orlova

Если я правильно вывел закон распределения, то почти правильно.

$%F_\alpha(x)=0$% при $%x \le 0$%

$%F_\alpha(x)=\frac{x}{2\pi}$% при $%0 < x \leq 1$%

$%F_\alpha(x)=1$% при $%x > 1$%

Ну а плотность равна 0 вне отрезка $%[0;2\pi]$%, а внутри - $%\frac{1}{2\pi}$%

(4 Дек '13 10:33) MathTrbl

Я исправил свой комментарий на правильный

(4 Дек '13 10:50) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,843
×12

задан
3 Дек '13 15:47

показан
1239 раз

обновлен
4 Дек '13 16:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru