уравнения - При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Здесь можно построить графики, а потом проводить линии, зависящие от $%a$% и смотреть на число точек пересечения. Но я попробую сейчас изложить чисто аналитическое решение.

Разобьём всю числовую прямую на три множества: $%A_1=(-\infty;-2]$%; $%A_2=(-2;3)$% и $%A_3=[3;+\infty)$%. То единственное решение, которое должно существовать, принадлежит ровно одному из этих промежутков. Выясним сначала, при каких $%a$% имеются решения на каждом из них.

1) $%x\in A_1$%. Здесь оба модуля раскрываются со знаком минус, и получается $%3-6x=ax+12$%, то есть $%(a+6)x=-9$%. Чтобы решение на данном промежутке имелось, нужно, во-первых, чтобы $%a$% не равнялось $%-6$%, и во-вторых, чтобы число $%x=-9/(a+6)$% принадлежало $%A_1$%, то есть выполнялось неравенство $%-9/(a+6) \le-2$%, то есть $%9/(a+6)\ge2$%. Отсюда ясно, что $%a+6 > 0$%, и на это положительное число мы домножим неравенство. Получится $%9\ge2a+12$%, то есть $%a\le-3/2$%. Таким образом, мы запоминаем, что на $%A_1$% уравнение имеет решение (притом ровно одно) тогда и только тогда, когда $$a\in(-6;\le3/2].$$

2) $%x\in A_2$%. Здесь после раскрытия модулей получается $%15=ax+12$%, то есть $%ax=3$%. Тогда $%a\ne0$%, и надо проверить, когда $%x=3/a$% принадлежит $%A_2$%. Это значит, что $%-2 < 3/a < 3$%, и при $%a > 0$% подходят все $%a > 1$%, а при $%a < 0$% -- все $%a < -3/2$%. То есть получилось такое условие: $$a\in(-\infty;-3/2)\cup(1;+\infty).$$

3) $%x\in A_3$%. Здесь $%6x-3=ax+12$%, то есть $%(6-a)x=15$%. Тогда $%a\ne6$%, и надо решить неравенство $%x=15/(6-a)\ge3$%. Ясно, что $%6-a > 0$%, и $%15\ge18-3a$%, то есть $%a\ge1$%. Пересекая, получаем $$a\in[1;6).$$

Теперь, просматривая три полученные условия вместе, мы отбираем все те $%a$%, для которых выполнено в точности одно из этих условий. Это соответствует наличию одного решения на одном из промежутков. Сюда попадают $%a\le-6$% (пункт 2), $%a=-3/2$% (пункт 1), $%a=1$% (пункт 3), $%a\ge6$% (пункт 2). В итоге имеем ответ: $$a\in(-\infty;-6]\cup\{-3/2\}\cup\{1\}\cup[6;+\infty).$$

При графическом способе решения всё тоже получается достаточно просто.