|
$%{\text{Уравнение}}$% $$1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} = 0$$ $%{\text{имеет следующие корни:}}$% $$\eqalign{ & {x_1} = - 1 + i \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{9}} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{8\pi }}{9}} \right)} }}} \right); \cr & {x_2} = - 1 + i \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{9}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{8\pi }}{9}} \right)} }}} \right); \cr & {x_3} = - 1 + i \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{9}} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{8\pi }}{9}} \right)} }}} \right); \cr & {x_4} = - 1 + i \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{9}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {2\cos \left( {\frac{{8\pi }}{9}} \right)} }}} \right). \cr} $$ $%{\text{Найдите комплексные корни уравнения:}}$% $$1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} + \frac{{{x^6}}}{{6!}} = 0$$ задан 20 Июн 19:43 
Igore
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
$$r_1 = -\frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} - \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{-4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} + 16 \, \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} + 4}} - 4 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} - 1$$ $$r_2 = -\frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} + \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{-4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} + 16 \, \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} + 4}} - 4 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} - 1$$ $$r_3 = \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} - \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{-4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} - 16 \, \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} + 4}} - 4 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} - 1$$ $$r_4 = \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} + \frac{1}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{-4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} - 16 \, \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{2}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}} {\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}} + 4}} - 4 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{4}{{\left(i \, \sqrt{3} - 1\right)}^{\frac{1}{3}}}} - 1$$ отвечен 20 Июн 21:48 
maxal было бы интересно увидеть как выражаются корни уравнения 6 степени через тригонометрию
(20 Июн 22:45)
Igore
@Igore: а вы уверены, что они выражаются? Данное уравнение 6й степени не разрешимо в радикалах.
(20 Июн 22:48)
maxal
|
Методом Феррари у меня всё выразилось через cos(2п/9), но до ответа я не доводил, потому что выходит громоздко.
Пример уравнения 4-й степени симпатичен неожиданно простой формой ответа. То, что здесь появляются косинусы, неудивительно, так как кубическая резольвента имеет корни в соответствующем круговом поле. Но для уравнения 6-й степени подобного ожидать я бы не стал (здесь группа Галуа
S_6, а тамA_4).@falcao Лучше использовать метод Эйлера.
@amm: а что имеется в виду?
@falcao См., например, Гашков. Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях. МЦНМО, 2006. (теорема 100 на стр. 246). Методом Феррари обычно называют способ разложения многочлена 4-й степени в произведение двух квадратных трехчленов. Естественно, все эти методы эквивалентны друг другу, но форма записи корней получается разная (это, кстати, один из источников тождеств с радикалами).
@amm: спасибо, понятно. Этот подход хорош, если все три корня вспомогательного кубического уравнения можно найти явно. Во многих примерах лишь один рациональный корень находится подбором -- тогда всё делается по Феррари, как обычно.