Дан единичный куб $%ABCDA_1B_1C_1D_1$%. Прямая MN лежит в плоскости грани $%AA_1B_1B$% и пересекает ребро $%AB$% в точке X так, что $%BX = 3AX$%. Прямая MK лежит в плоскости грани $%BB_1C_1C$% и пересекает ребро $%CC_1$% в его середине Y. Прямая NK лежит в плоскости грани $%A_1B_1C_1D_1$% и пересекает ребро $%A_1D_1$% в точке Z так, что $%D_1Z = 3A_1Z$%. Найдите площадь треугольника $%MNK$%.

задан 5 Дек '13 0:32

изменен 5 Дек '13 20:49

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

С помощью трех точек $%X,Y$% и $%Z$% построим треугольник $%MNK.$% Пусть $%GX\perp AB.$% В плоскости $%XGC_1C$% построим $%XY\cap GC_1=I,$% потом $%ZI\cap B_1C_1=K, ZI\cap A_1B_1=N, NX\cap BB_1=M.$% Потом можно доказать, что $%NA_1=ZA_1=OC_1=KC_1=\frac13, ZD_1=OD_1=\frac23, NZ=OK=\frac{\sqrt2}3, ZO=\frac{2\sqrt2}3,$%

$% MN= \frac{4\sqrt2}3.$% Треугольник $%MNK$% равнобедренный с основанием $%NK.$% $%MN=MK=\frac{2\sqrt{13}}9.$% Не трудно найти площадь равнобедренного треугольника по трем сторонам- $%S_{MNK}=\frac{4\sqrt{22}}9.$%

alt text

ссылка

отвечен 7 Дек '13 1:05

изменен 7 Дек '13 12:26

1

Огромное спасибо за очень красивый и правильный рисунок, но в Ваши расчета вкралась небольшая ошибка. NA1=ZA1=OC1=KC1=1/4, т.к. по условию задачи точка D разбивает сторону A1Z1 в отношении 1:3. Тогда NK=5sqrt(2)/4, а стороны MN = MK = 5sqrt(5)/4. И тогда площадь треугольника MNK равна 75/32.

(8 Дек '13 14:38) serg55

Да, кажется это так. Такое в последнее время у меня часто бывает. Найду время и исправлю.

(9 Дек '13 20:00) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
5 Дек '13 0:32

показан
2054 раза

обновлен
9 Дек '13 20:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru