Нашла школьную задачку, знаю, что несложно, но зависла: Доказать, что сумма квадратов всех сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей и учетверенному квадрату отрезка, соединяющего середины диагоналей.

задан 5 Дек '13 1:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это утверждение верно для любых четырёх точек в пространстве. Доказать его можно, основываясь на следующих свойствах векторов:

1) $%\vec{XY}=\vec{OY}-\vec{OX}$%, где $%O$% -- произвольная точка пространства;

2) квадрат длины отрезка $%XY$% равен скалярному квадрату вектора $%\vec{XY}$%, то есть $%\vec{XY}^2$%;

3) если $%Z$% -- середина отрезка $%XY$%, то $%\vec{OZ}=\frac12(\vec{OX}+\vec{OY})$%.

Далее я для краткости буду обозначать $%\vec{OX}$% (радиус-вектор точки $%X$%) маленькой буквой $%x$% (и аналогично для всех используемых здесь букв).

Сумма квадратов сторон четырёхугольника равна $%\vec{AB}^2+\vec{BC}^2+\vec{CD}^2+\vec{DA}^2=(b-a)^2+(c-b)^2+(d-c)^2+(a-d)^2$%, то есть $$2(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+bc+cd+da).\qquad\qquad\qquad(1)$$ Для скалярного произведения векторов справедливы обычные правила раскрытия скобок, а потому и формулы сокращённого умножения. Выражение $%ab$% есть скалярное произведение векторов, обозначенных через $%a$% и $%b$%.

Сумма квадратов диагоналей равна $%\vec{AC}^2+\vec{BD}^2=(c-a)^2+(d-b)^2$%, то есть $$ (a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ac+bd).\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(2)$$ Наконец, учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей есть $$4\cdot\left(\frac{a+c}2-\frac{b+d}2\right)^2=((a+c)-(b+d))^2=(a+c)^2+(b+d)^2-2(a+c)(b+d),$$ то есть $$a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)-2(ab+bc+cd+da).\quad\quad(3)$$ Складывая (2) и (3), получаем (1).

ссылка

отвечен 5 Дек '13 2:55

изменен 5 Дек '13 23:20

В (1) не хватает коэффициента 2 перед суммой квадратов. Но даже после этого непонятно, почему (1) и (2) это одно и тоже

(5 Дек '13 23:14) Танюша

Это опечатка, я сейчас её исправлю.

(1) и (2) -- это не одно и то же. Утверждается, что (1) равно сумме (2) и (3), как у меня написано в конце. Там (2) -- сумма квадратов диагоналей, и она складывается с (3), то есть с учетверённым квадратом длины отрезка, соединяющего их середины.

(5 Дек '13 23:19) falcao

Только сейчас до конца осознала условие. Спасибо!

(5 Дек '13 23:42) Танюша
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×195

задан
5 Дек '13 1:55

показан
637 раз

обновлен
5 Дек '13 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru