Векторы в школьной математике

Это утверждение верно для любых четырёх точек в пространстве. Доказать его можно, основываясь на следующих свойствах векторов:

1) $%\vec{XY}=\vec{OY}-\vec{OX}$%, где $%O$% -- произвольная точка пространства;

2) квадрат длины отрезка $%XY$% равен скалярному квадрату вектора $%\vec{XY}$%, то есть $%\vec{XY}^2$%;

3) если $%Z$% -- середина отрезка $%XY$%, то $%\vec{OZ}=\frac12(\vec{OX}+\vec{OY})$%.

Далее я для краткости буду обозначать $%\vec{OX}$% (радиус-вектор точки $%X$%) маленькой буквой $%x$% (и аналогично для всех используемых здесь букв).

Сумма квадратов сторон четырёхугольника равна $%\vec{AB}^2+\vec{BC}^2+\vec{CD}^2+\vec{DA}^2=(b-a)^2+(c-b)^2+(d-c)^2+(a-d)^2$%, то есть $$2(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+bc+cd+da).\qquad\qquad\qquad(1)$$ Для скалярного произведения векторов справедливы обычные правила раскрытия скобок, а потому и формулы сокращённого умножения. Выражение $%ab$% есть скалярное произведение векторов, обозначенных через $%a$% и $%b$%.

Сумма квадратов диагоналей равна $%\vec{AC}^2+\vec{BD}^2=(c-a)^2+(d-b)^2$%, то есть $$ (a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ac+bd).\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad(2)$$ Наконец, учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей есть $$4\cdot\left(\frac{a+c}2-\frac{b+d}2\right)^2=((a+c)-(b+d))^2=(a+c)^2+(b+d)^2-2(a+c)(b+d),$$ то есть $$a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)-2(ab+bc+cd+da).\quad\quad(3)$$ Складывая (2) и (3), получаем (1).