Помогите найти A^n по формуле Лагранжа-Сильвестра. А - квадратная матрица. A11 = -49; A12 = 48; A21 = -40; A22 = 39. Значит, собственные числа матрицы А -1 и -9. Как можно посчитать дальше?

задан 5 Дек '13 2:43

изменен 5 Дек '13 2:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я опишу несколько иной подход -- может, он как-то пригодится.

Характеристический многочлен матрицы $%A$% равен $%p(\lambda)=\lambda^2+10\lambda+9=0$%. По теореме Гамильтона - Кэли, матрица является корнем уравнения $%P(A)=0$%, то есть $%A^2+10A+9E=0$%. Если нас интересует значение какого-нибудь многочлена $%f(A)$% от матрицы $%A$% (в частности, $%f(x)=x^n$%), то можно поделить $%f(x)$% с остатком на $%p(x)=x^2+10x+9=(x+1)(x+9)$%. После этого матрицу $%A$% подставляем в линейный многочлен $%r(x)$%, где $%r(x)$% есть остаток от деления $%f(x)$% на $%p(x)$%.

Для остатка в данном случае можно получить формулу $$r(x)=(-1)^{n+1}\frac{(9^n-1)x+(9^n-8)}8.$$ Подставляя вместо $%x$% матрицу $%A$%, получаем ответ. Иными словами, $$A^n=(-1)^{n+1}\frac{(9^n-1)A+(9^n-8)E}8.$$

ссылка

отвечен 5 Дек '13 3:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×279

задан
5 Дек '13 2:43

показан
882 раза

обновлен
5 Дек '13 3:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru