сходимость-ряда - Исследовать на сходимость два ряда

1) При малых значениях $%x$% такие функции как синус и тангенс принимают значения, примерно равные $%x$%. То же касается арктангенса. Поэтому при больших значениях $%x$% под знаком арктангенса будет стоять величина порядка $%1/n^2$%, а такой ряд сходится.

Формальное доказательство того же самого: $%x < {\mathop{\rm tg\,}}x$% при $%0 < x < \pi/2$% (неравенство из школьного курса), поэтому $%{\mathop{\rm arctg\,}}x < x$% при тех же $%x$%. Отсюда $%{\mathop{\rm tg\,}}\frac{n+1}{n^3+3} < \frac{n+1}{n^3+3}$%. Теперь берём модуль $%n$%-го члена ряда, пользуемся тем, что модуль косинуса не больше единицы. Поэтому $%|a_n| < \frac{n+1}{n^3+3} < \frac{2n}{n^3}=\frac{2}{n^2}$%. Ряд с таким общим членом сходится по интегральному признаку. Значит, ряд с общим членом $%a_n$% сходится по признаку сравнения, а потому сходится ряд из условия задачи с общим членом $%a_n$%.

2) Временно обозначим $%\ln(x+2)$% через $%a$%. Чтобы ряд сходился, общий член должен стремиться к нулю. Для этого необходимо, чтобы $%a^n$% стремилось к бесконечности, а это бывает только при $%|a| > 1$%. С другой стороны, этого условия достаточно, поскольку ряд $%n/a^n$% будет абсолютно сходиться по признаку Даламбера.

Таким образом, $%\ln(x+2) > 1$% или $%\ln(x+2) < -1$%, то есть $%x > e-2$% или $%-2 < x <1/e-2$%. Это задаёт область сходимости функционального ряда.