Добрый день! Помогите, исследовать на сходимомть два ряда - обычный и функциональный. http://s019.radikal.ru/i636/1312/d0/89c9495bb149.jpg

задан 5 Дек '13 13:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) При малых значениях $%x$% такие функции как синус и тангенс принимают значения, примерно равные $%x$%. То же касается арктангенса. Поэтому при больших значениях $%x$% под знаком арктангенса будет стоять величина порядка $%1/n^2$%, а такой ряд сходится.

Формальное доказательство того же самого: $%x < {\mathop{\rm tg\,}}x$% при $%0 < x < \pi/2$% (неравенство из школьного курса), поэтому $%{\mathop{\rm arctg\,}}x < x$% при тех же $%x$%. Отсюда $%{\mathop{\rm tg\,}}\frac{n+1}{n^3+3} < \frac{n+1}{n^3+3}$%. Теперь берём модуль $%n$%-го члена ряда, пользуемся тем, что модуль косинуса не больше единицы. Поэтому $%|a_n| < \frac{n+1}{n^3+3} < \frac{2n}{n^3}=\frac{2}{n^2}$%. Ряд с таким общим членом сходится по интегральному признаку. Значит, ряд с общим членом $%a_n$% сходится по признаку сравнения, а потому сходится ряд из условия задачи с общим членом $%a_n$%.

2) Временно обозначим $%\ln(x+2)$% через $%a$%. Чтобы ряд сходился, общий член должен стремиться к нулю. Для этого необходимо, чтобы $%a^n$% стремилось к бесконечности, а это бывает только при $%|a| > 1$%. С другой стороны, этого условия достаточно, поскольку ряд $%n/a^n$% будет абсолютно сходиться по признаку Даламбера.

Таким образом, $%\ln(x+2) > 1$% или $%\ln(x+2) < -1$%, то есть $%x > e-2$% или $%-2 < x <1/e-2$%. Это задаёт область сходимости функционального ряда.

ссылка

отвечен 5 Дек '13 13:36

@falcao, спасибо. Эта вся область абсолютной сходимости получается? Почему мы берем члены ряда an по модулю?

(5 Дек '13 15:37) Ice_Fox

В данном случае область сходимости совпадает с областью абсолютной сходимости. Модуль берётся по той причине, что мы применяем принцип Даламбера к рядам с положительными членами. Ряд получается сходящийся, и это даёт нам более сильное утверждение об абсолютной сходимости ряда.

(5 Дек '13 17:19) falcao

@falcao, ясно. А подскажите, пожалуйста, в другом ряде, правомочно ли такое преобразование? (Которое помечено вопросительным знаком.) http://s019.radikal.ru/i626/1312/2e/8aed19194c63.jpg

(5 Дек '13 18:01) Ice_Fox

От арксинуса избавились правильно (для "малых" значений от эквивалентен самим значениям), но дальше ошибка в преобразовании с факториалом. Если имеется $%3\cdot6\cdot9\ldots3n$%, то это не $%3n!$%, а $%3^n\cdot n!$%, потому что множитель 3 вычленяется у каждого из $%n$% чисел.

(5 Дек '13 18:07) falcao

@falcao, спасибо. Получается, ряд расходится? http://i016.radikal.ru/1312/97/17b360b99aae.jpg

(5 Дек '13 18:21) Ice_Fox

Да, расходится. Там числа растут и даже стремятся к бесконечности, а для сходимости они должны стремиться к нулю.

(5 Дек '13 18:29) falcao

@falcao, спасибо. А этот ряд http://s019.radikal.ru/i616/1312/3b/a0470061aefa.jpg

У меня получается, что он сходится, но уж слишком простое решение меня смущает

(5 Дек '13 18:41) Ice_Fox

Нет, здесь неправильно: Вы критерий использовали в другую сторону. Даже $%1/n$% расходится, не говоря о $%1/n^{1/4}$%. Это $%1/n^4$% был бы сходящимся. Иными словами, абсолютной сходимости нет, а условную сходимость надо "выжать" из признака Лейбница. Там надо только позаботиться о монотонности начиная с некоторого $%n$%.

(5 Дек '13 18:56) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×287

задан
5 Дек '13 13:00

показан
1158 раз

обновлен
5 Дек '13 18:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru