Дано: 1/a+ (a+1)/2= 3,5 Найдите: a^2/(a^4+4)

задан 6 Дек '13 21:57

изменен 7 Дек '13 2:38

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

Можно так

ссылка

отвечен 6 Дек '13 23:56

изменен 7 Дек '13 2:36

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Число $%a$% здесь является корнем квадратного уравнения, которое легко решается по формуле. Получается $%a=3\pm\sqrt7$%, и это значение далее можно подставить в выражение $%a^2/(a^4+4)$%. Вычисления там в принципе несложные: $%a^2=16\pm6\sqrt7=2(8\pm3\sqrt7)$%; $%a^4=4(127\pm48\sqrt7)$%; $%a^4+4=4(128\pm48\sqrt7)=64(8\pm3\sqrt7)$%, и при делении одного на другое получается $%1/32$% при выборе любого из корней.

Но здесь есть и другое решение, которое заслуживает внимания. Можно не решать уравнение в явном виде, а провести все вычисления на "буквенном" уровне, то есть на уровне собственно алгебры. Уравнение имеет вид $%a^2=6a-2$%. Тогда $%a^3=6a^2-2a=6(6a-2)-2a=34a-12$%, и после ещё одного домножения на $%a$% получится $%a^4=34a^2-12a=34(6a-2)-12a=192a-68$%. Прибавля $%4$%, имеем $%a^4+4=192a-64=64(3a-1)$%, откуда всё следует.

Наконец, есть ещё один интересный способ. Выражение $%a^4+4$% можно разложить на множители как многочлен, где $%a$% выступает в качестве переменной: $$a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2).$$ Теперь, подставляя $%a^2=6a-2$%, получаем $%4a\cdot8a=32a^2$%, откуда всё следует. До такого решения, конечно, труднее додуматься, но зато здесь почти нет арифметических вычислений.

ссылка

отвечен 6 Дек '13 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×129

задан
6 Дек '13 21:57

показан
637 раз

обновлен
7 Дек '13 1:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru