При каких значениях а уравнение $$ log_{2}(4^x-a)=x$$ имеет два различных решения?

задан 7 Дек '13 15:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь $%4^x-a=2^x$% (это равносильное условие), и тогда получается, что после замены $%y=2^x$% уравнение $%y^2-y-a=0$% должно иметь два различных положительных корня (для каждого $%y > 0$% получится $%x=\log_2y$%).

Дискриминант уравнения $%D=1+4a$% положителен, то есть $%a > -1/4$%. Произведение корней равно $%-a$%, и это число должно быть положительно, то есть $%a < 0$%. Это условие достаточное, так как сумма корней равна $%1$%. Корни получаются одного знака, то есть положительные.

Можно вместо теоремы Виета рассмотреть меньший из корней и потребовать его положительности: $%1-\sqrt{D} > 0$%. Получится такой же вывод.

В итоге $%a\in(-1/4;0)$%.

ссылка

отвечен 7 Дек '13 15:39

10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 7 Дек '13 16:59

@epimkin: условие $%y^2-a > 0$% удобнее заменить на $%y > 0$%, чтобы было проще следить.

(7 Дек '13 17:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431
×221

задан
7 Дек '13 15:20

показан
2362 раза

обновлен
7 Дек '13 17:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru