Найти все значения а, при которых уравнение $$ log_{3}x^2=\sqrt{log_{3}x^8}+a $$ имеет четыре решения.

задан 7 Дек '13 15:48

изменен 7 Дек '13 15:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

По условию, $%x\ne0$%. Вместе с каждым корнем $%x$% уравнение имеет также корень $%-x$%, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда имеется два положительных решения ($%x > 0$%).

Уравнение при этом имеет вид $%2\log_3x=2\sqrt2\sqrt{\log_3x}+a$%, поэтому, полагая $%t=\sqrt{\log_3x}$%, надо исследовать квадратное уравнение $%2t^2-2\sqrt2t-a=0$% на предмет наличия двух различных корней, каждый из которых неотрицателен. Приведённый дискриминант здесь равен $%D/4=2+2a > 0$%, то есть $%a > -1$%, а меньший из корней, то есть $%(\sqrt2-\sqrt{2+2a})/2$%, должен быть неотрицателен, откуда $%a\le0$%. При этих условиях получатся два корня $%0\le t_1 < t_2$%, и тогда $%\log_3x=t_i^2$% при $%i\in\{1,2\}$%. Значения $%x$% будут равны $%3^{t_i^2}$% для случая $%x > 0$%, и их будет два, а в общем случае корней получится четыре: $%\pm3^{t_1^2}$% и $%\pm3^{t_2^2}$%. Ответом будет $%a\in(-1;0]$%.

ссылка

отвечен 7 Дек '13 16:11

Можно ведь условия поставить D>0; t1*t2>0?

(7 Дек '13 16:21) Amalia

В данном случае по такому пути (то есть через теорему Виета) идти несколько хуже, и вот почему. Дело в том, что условие $%t_1t_2 > 0$% выполняться в этой задаче не обязано (в отличие от предыдущей), так как один корень вполне может быть нулевым. Но тогда, если заменить условие на $%t_1t_2\ge0$%, под него подпадают случаи, когда один корень нулевой, а второй отрицателен. Чтобы не возиться с разбором случаев, я выбрал более простой путь: взять меньший корень (с минусом перед дискриминантом) и потребовать его неотрицательность. Тогда больший корень будет положителен. Так проще всего.

(7 Дек '13 16:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

link text

Можно так. Ответ от минус 1 до нуля(вкл)

ссылка

отвечен 7 Дек '13 16:57

изменен 7 Дек '13 16:58

10|600 символов нужно символов осталось
0

Замените то что слева на $%t$%, тогда срава будет $%\sqrt{4t}$%$%+$%$%a$%. Дальше все стандартно

ссылка

отвечен 7 Дек '13 16:01

Я сделал что-то не так?

(7 Дек '13 16:40) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×458
×233

задан
7 Дек '13 15:48

показан
488 раз

обновлен
7 Дек '13 17:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru