(20 22 24 26 28....1998)/ (21 23 25 27 29 31 ...1999)

задан 7 Дек '13 21:04

изменен 7 Дек '13 21:04

Конечно, можно, так как это рациональное число. Другое дело, что числители и знаменатели будут огромные, поэтому в таких случаях обычно находят приближение с подходящей точностью.

(7 Дек '13 21:10) falcao

не скажите чему оно равно

(7 Дек '13 21:20) parol

Оно считается на компьютере за несколько секунд. Приближённое значение равно $%0,09877063844$%, то есть чуть меньше одной десятой. Точное значение я могу скопировать из Maple, но это отношение двух примерно 600-значных чисел. То есть полезной информации там никакой нет. Здесь более интересен способ приближённого вычисления без использования компьютера. Его изложить было бы, наверное, более полезно.

(7 Дек '13 23:54) falcao

если не сложно можно решение

(8 Дек '13 15:55) parol

@parol: хочу уточнить, что именно Вас интересует. Нахождение приближённого значения с доказательством? Дело в том, что при нахождении точного значения заведомо не получается ничего интересного, то есть какие-то множители там, конечно, сокращаются, но ответ получается с 600-значными числами, и интереса не представляет. А приближённые методы с хорошей точностью весьма полезны.

(8 Дек '13 16:55) falcao

да именно приближенные

(8 Дек '13 18:31) parol
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Начнём с того, что выразим число из условия задачи через факториалы. Для начала умножим числитель и знаменатель на число, стоящее в числителе. Тогда числитель станет равен квадрату того, что в нём было, а знаменатель превратится в произведение чисел от 20 до 1999, то есть станет равен $%1999!/19!$%. Числитель был равен произведению всех чётных чисел от 20 до 1998, то есть удвоенных чисел от 10 до 999. Этих чисел имеется 990, и если от каждого "отщепить" двойку, то будет $%2^{990}$%. Останется произведение самих чисел от 10 до 999, то есть $%999!/9!$%. В итоге всё будет равно $$4^{990}\cdot\frac{999!^2}{9!^2}\cdot\frac{19!}{1999!}.$$ Это точное значение в "свёрнутом" виде, и его можно слегка видоизменить, беря за основу факториалы "круглых" чисел. Получится $$\frac{4^{990}}{100}\cdot\frac{1000!^2}{2000!}\cdot\frac{20!}{10!^2}=\frac{4^{990}}{100}\cdot\frac{C_{20}^{10}}{C_{2000}^{1000}}.$$ Для приближённого вычисления значений факториалов имеется известная формула Стирлинга: $$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n.$$ В частности, для числа сочетаний она приводит к такой приближённой формуле: $$C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{n!^2}\approx\frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}\left(\frac{2n}e\right)^{2n}\left(\frac{e}n\right)^{2n}=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$$ Формула Стирлинга даёт тем более точные приближения, чем больше значение $%n$%. При $%n=10$% приближение имеет не очень высокую точность, и всё выражение в целом оказывается примерно равно $%0,01$%. Поэтому имеет смысл вычислить $%C_{20}^{10}$% точно -- это будет $%184756$%, а $%C_{2000}^{1000}$% заменить приближением. Получится выражение $$\frac{\sqrt{10\pi}C_{20}^{10}}{10\cdot4^{10}}\approx0,98758.$$ Точность получается хорошая, потому что на самом деле там получается $%0,09877$%. Более высокую степень точности можно получить за счёт применения более точной версии формулы Стирлинга (с дополнительным множителем $%1+\frac1{12n}$%).

ссылка

отвечен 8 Дек '13 22:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $$A=\frac{20\cdot 22\cdot\dots\cdot 1998}{21\cdot23\cdot\dots\cdot1999},$$
$$B=\frac{21\cdot23\cdot\dots\cdot1999}{22\cdot24\cdot\dots\cdot2000}$$ и $$С=\frac{19\cdot21\cdot\dots\cdot1997}{20\cdot22\cdot\dots\cdot1998}$$ Тогда 1) $%C < A < B$%, поскольку каждая дробь $%\frac{i}{i+1}$% меньше, чем соответствующая дробь $%\frac{i+1}{i+2}$%. 2) $%AC=19/1999$%, 3) $%AB=20/2000=1/100$%.

Из неравенств $%\frac{19}{1999A} < A < \frac{1}{100A}$% получаем $% 0.09749 < A < 0.1$% Это, безусловно, более грубо, чем техника @falcao, но зато и доступнее. А если в качестве разумного приближения взять $%(0.1+0.09749)/2=0.098745$%, то получится почти тот же результат

PS. Можно еще улучшить вот так. Поскольку дроби $%\frac{i^2}{(i-1)(i+1)}$% убывают с ростом $%i$%, то $%\frac{A}{C}>\frac{B}{A}$%, откуда $%A^2>BC$%. Но так как $%A^2BC=\frac{19}{1999}\cdot\frac{20}{2000}$%, то $%A^4>\frac{19}{199900}$%, откуда $%A>0.098738$%. Совсем хорошая оценка

ссылка

отвечен 11 Окт '15 16:53

изменен 11 Окт '15 17:08

@knop: там снизу должно быть, наверное, 0,9749, то есть близко к 1? Если да, то точность оценки достаточно неплохая.

(11 Окт '15 16:56) falcao

Почему близко к 1? Я вроде там всё аккуратно сосчитал.

(11 Окт '15 16:59) knop

@knop: всё верно, только там оба значения близки к 1/10, а не к 1. Я невнимательно прочитал. Важно, что значения действительно близкие.

(11 Окт '15 17:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Двойной факториал - произведение чисел в отрезке $%[1,n]$% и обозначается $%n!!$%. Наше выражение можно переписать в виде $%(1998!!/18!!)/(1999!!/19!!)$%. Докажем две формулы: Формулу $%(2k)!!=2^k k!$% и формулу $%(2k+1)!!=(2k+1)!/(2^k k!)$%.

1) Заметим, что $%(2k)!!$% это произведение $%k$% членов. Тогда, $%(2k)!!=2 * 4 * … *(2k)=2^k (2 * 4 * … * (2k)/ 2^k =2^k (1 * 2 * … * k)= 2^k k!$%

2) Заметим, что $%(2k+1)!!$% это произведение $%k+1$% членов. Тогда, $%(2k+1)!!=1 * 3 * 5 * … * (2k+1)=(2 * 4 * … * (2k))(1 * 3 * 5 * … * (2k+1))/ (2 * 4 * … * (2k))= (2k+1)!/ (2 * 4 *… * (2k))= (2k+1)!/(2k)!!$%.

Подставим первую формулу: $%(2k+1)!/2k!!= (2k+1)!/(2^k k!)$% Наше выражение переписывается в виде: $%(2^{999} 999!/2^9 9!)/((999!/2^{999} 999!/)/(18!/ 2^9 9!))=19 * … * 999.$%

Лев, 8 лет.

ссылка

отвечен 11 Окт '15 15:26

изменен 11 Окт '15 16:38

knop's gravatar image


17.5k121

@lev, формулы правильны, а вот подстановка в задачу - нет

(11 Окт '15 16:40) knop

Ещё при определении двойного факториала пропущена оговорка про числа той же чётности.

(11 Окт '15 16:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,152
×2,771
×480

задан
7 Дек '13 21:04

показан
1129 раз

обновлен
11 Окт '15 17:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru