Найдите количество шестизначных чисел, в десятичной записи которых могут встречаться только цифры 5, 6, 7, 8 и таких, что каждая цифра не меньше предыдущей.

задан 8 Дек '13 7:46

изменен 10 Янв '14 20:21

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Эту задачу можно решить, применив готовую формулу $%\bar{C}_4^6$% для числа сочетаний с повторениями из 4 по 6. Здесь у нас имеется 4 вида предметов (цифры), которые могут повторяться, и мы берём 6 таких предметов для формирования числа (по взятым цифрам число формируется однозначно: мы располагаем их в порядке невозрастания).

Согласно формуле из комбинаторики, число сочетаний с повторениями из $%n$% по $%m$% равно $%C_{m+n-1}^m$%. В данном случае получается $%C_9^6= C_9^3=9\cdot8\cdot7/3!=84$%.

Возможно и решение, не опирающееся в явном виде на формулы, приведённые выше. Рассмотрим 6-значное число из условия задачи, и напишем перед ним наибольшую из цифр, то есть 8, а после него -- наименьшую из цифр, то есть 5. Будем переходить от первой из выписанных цифр к восьмой, следя за тем, на сколько уменьшается следующая цифра. Получится 7 целых неотрицательных чисел, в сумме дающих 3 (так как итоговое уменьшение произошло на 3). Например, если 6-значное число было равно 776665, то мы записали сначала 87766655, и числа уменьшений равны 1010010.

Теперь можно напрямую подсчитать, сколько имеется таких последовательностей из 7 членов с суммой 3. Там могла быть одна тройка и остальные нули. Тройка может стоять на любом из 7 мест, то есть получается 7 случаев. Если в последовательности имеется 2 и 1, то двойку ставим куда-то 7 способами на одно из мест, а единицу -- 6 способами на одно из оставшихся мест. По правилу произведения получается $%7\cdot6=42$%. Наконец, если у нас складываются три единицы, то их на семи местах можно расположить $%C_7^3=35$% способами. Итого получаем $%7+42+35=84$%, как и выше.

ссылка

отвечен 8 Дек '13 13:05

изменен 8 Дек '13 13:08

@falcao, по условию каждая цифра числа не меньше предыдущей, т.е. цифры располагаются от меньшей до большей (или равной).

(10 Янв '14 19:59) Uchenitsa

@Uchenitsa: да, я почему-то прочитал условие наоборот, и расположил его цифры в обратном порядке. Спасибо за замечание. Ответ при этом, конечно, остаётся прежним -- надо лишь читать цифры в обратном направлении.

(10 Янв '14 20:05) falcao

@falcao, да ответ все равно верный)

(10 Янв '14 20:17) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114

задан
8 Дек '13 7:46

показан
5668 раз

обновлен
10 Янв '14 20:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru