Дана правильная треугольная пирамида SABC, ребро основания которой равно 1. Из вершин A и B основания ABC проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек . Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат ребра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

задан 8 Дек '13 14:36

изменен 10 Дек '13 2:55

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Доброго дня) Условие "на прямых, содержащих эти медианы, лежат ребра некоторого куба" - означает ( наверное =)) только то, что эти прямые перпендикулярны ( так как ребра куба либо параллельны, либо перпендикулярны друг другу, и медианы очевидно не могут быть параллельны ). Т.е. ищем длину бокового ребра $%L$%, зная, что медиана $%AK$% перпендикулярна медиане $%BM$%
Чтобы "увидеть" угол между скрещивающимися - достраиваем в плоскости $%ASB$% прямую $%BN$% || $%AK$%. Тогда угол между $%AK$% и $%BM$% будет равен углу между $%BN$% и $%BM$% - и по условию он должен быть $%= 90$%. Т.е. откладывая $%BN = AK = m$% (длину медианы) - получаем равнобедренный треугольник $%BMN$% (в котором $%BN = BM = m$% и должен быть угол $%MBN = 90$%, т.е. должно быть $%NM = m\sqrt{2}$%)

alt text

Длину медианы $%m$% можно выразить через длину бокового ребра $%L$% (из треугольника $%ASB$% - в котором $%AS = SB = L$% и $%AB = 1$%, получаем, что медиана $%m = \frac{\sqrt{L^2 + 2}}{2}$% ( это получаем или используя "готовую" формулу длины медианы, или достраивая треугольник $%ASB$% до параллелограмма, и записывая, что "сумма квадратов диагоналей параллелограмма = сумме квадратов всех ( всех 4-х ) его сторон": $%(2m)^2 + L^2 = 2\cdot (1 + L^2)$%, и отсюда: $%4m^2 = L^2 + 2 $% )
Тогда должно быть $%MN = m\sqrt{2} = \sqrt{\frac{L^2 + 2 }{2}}$%
А с другой стороны, отрезок $%MN$% можно найти численно. Так как $%KM$% || $%BC$% и $%KN$% || $%BD$%, то угол между $%KM$% и $%KN$% равен углу между $%BC$% и $%BD$%, т.е. равен $%120$%, и из треугольника $%MNK$% по теореме косинусов $%MN = \frac{\sqrt{7}}{2}$%
Т.е. приравниваем $%\frac{L^2 + 2}{2} = \frac{7}{4}$%
Вроде как-то так =)

ссылка

отвечен 8 Дек '13 16:26

изменен 10 Дек '13 1:17

Спасибо за решение

(8 Дек '13 16:45) SenjuHashirama

SenjuHashirama, sorry)) я понимаю, что Вам достаточно было и просто рисунка.. Я "на автопилоте" расписала.. может, еще кому-то пригодится..

(8 Дек '13 17:35) ЛисаА

за что извиняетесь? Вы меня переоцениваете, мне не достаточно рисунка, благодарю за решение ( в первом комменте пропустил "за")

(8 Дек '13 17:44) SenjuHashirama

@ЛисаА: я сейчас заметил мелкую опечатку в последнем равенстве перед рисунком: там должно быть MN вместо BM.

(9 Дек '13 20:32) falcao

@falcao, спасибо)) исправила )

(10 Дек '13 1:19) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Можно и так. Как уже сказано в предyдущем решении $%AE\perp BF.$% Проводем $%EG||BF.$% Ясно что $%DG=GF, EG=\frac12BF$%, и треугольник $%AEG$% прямоугольный.Обозначим $%AD=DC=DB=x$% и воспользуемся формулой медианы (доказательство есть в предыдущем решении $%m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}).$% Для треугольника $%ADC$%, получим $%AE=\frac12\sqrt{x^2+2}.$% Так-как пирамида правильная, то $%AF=BG=AE=\frac12\sqrt{x^2+2}, EG=\frac14\sqrt{x^2+2}. AG$% медиана треугольника $%ADF,$% значит $%AG=\frac12\sqrt{2AD^2+2AF^2-FD^2}=\frac12\sqrt{2x^2+\frac12(x^2+2)-\frac{x^2}4}=\frac12\sqrt{\frac94x^2+1}.$% Из треугольника $%AEG$% по теореме Пифагора $%AG^2=AE^2+EG^2.$% Получаем уравнение $%\frac14(\frac94x^2+1)=\frac14(x^2+2)+\frac1{16}(x^2+2).$% Отсюда легко получается $%x=\frac{\sqrt3}2.$%

ссылка

отвечен 9 Дек '13 19:54

изменен 9 Дек '13 20:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416

задан
8 Дек '13 14:36

показан
759 раз

обновлен
10 Дек '13 1:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru