На окружности отмечено 20 точек.Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает каждую(возможно в концах)?

задан 8 Дек '13 16:50

изменен 9 Дек '13 9:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Отметим точки на окружности как концы хорд. Очевидно, что если хорды 1 и 2 пересекаются, то порядок их следования выглядит как 1-2-1-2 (если идти по кругу от 1-й до 20-й, ну или 2-1-2-1, не важно).
Таким образом, порядок следования хорд (с точностью до перенумерации) для их пересечения выглядит как 1-2-3-1-2-3, т.е. у любых 6 точек (в вершинах выпуклого шестиугольника) есть ровно один способ разбить из на пары так, чтобы все три хорды попарно пересекались. Это $%C_{20}^6.$%
У пяти точек таких способов уже 5 - две хорды пересекаются в какой-то вершине, третья соединяет оставшиеся две вершины. Это $%5\cdot C_{20}^5.$%
У четырёх точек это 10 - 12 способов расположить их "в линию" (1-я точка с 4-й, 4-я со 2-й, 2-я с 3-й, например) и 4 способа с тремя хордами, выходящими из одной точки. Итого $%16\cdot C_{20}^4.$%
Наконец, для каждой тойки точек такой способ один-единственный. Итого $%C_{20}^3.$%
В итоге ответ - $%C_{20}^6+5\cdot C_{20}^5+16\cdot C^4_{20}+C_{20}^3.$%

ссылка

отвечен 8 Дек '13 19:13

изменен 8 Дек '13 21:10

@trongsund: я рассуждал похожим образом, но у меня другие коэффициенты получились. Числа 5 и 10 занижают число вариантов.

(8 Дек '13 19:45) falcao

Десятку исправил, пятёрка вроде правильная

(8 Дек '13 19:51) trongsund

При $%C_{20}^4$% коэффициент действительно 16 (у Вас в последнем выражении это пока не отражено), но 5 при $%C_{20}^5$% -- это пока что неправильно. Там конфигураций существенно больше.

(8 Дек '13 20:42) falcao

У нас каждые 5 точек образуют выпуклый многоугольник, но должна существовать ровно одна точка, из которой исходят 2 хорды. Пусть это 1, а все остальные занумерованы 2...5 по часовой стрелке. Тогда для выполнения условия нужно, чтобы 1 соединилась с 3 и 4, а 2 соединилась с 5, иначе найдутся непересекающиеся хорды. А теперь среди каждых 5 в качестве "единицы" можно выбрать любую. Итого 5 вариантов для каждой пятёрки из 20. Вроде так

(8 Дек '13 21:19) trongsund

@trongsund: я сейчас посмотрел на свои рисунки, и увидел, что там имеются лишние случаи. Да, для пятиугольника вариантов именно 5, то есть Вы правы. А для 4-угольника, как показала "ревизия", вариантов не 16, а 8. Это 4 случая, когда все хорды исходят из одной точки, и ещё 4 "бантика" (например, для $%ABCD$% примером будут две диагонали плюс любая из сторон). Остальное (типа буквы "П", "И", "N") -- не подходит.

(9 Дек '13 0:15) falcao

Решил с учителем, получилось то же самое, только вместо 16ти стоит 8

(9 Дек '13 20:09) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: да, это так и должно быть с учётом того, что было сказано в предыдущем комментарии. Я когда сам решал, то сделал несколько рисунков, и уже готовился изложить своё решение, но раньше меня это сделал @trongsund, и я не стал писать, а конфигурации лишний раз не проверил. Потом уже заметил, что было учтено лишнее. А задача хорошая весьма.

(9 Дек '13 20:23) falcao

6-ая задача(последняя), с окружного(2-го и 4х) этапа всеросса в Москве

(9 Дек '13 20:29) SenjuHashirama
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×861

задан
8 Дек '13 16:50

показан
1949 раз

обновлен
9 Дек '13 20:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru