Помогите, пожалуйста, доказать утверждение для любых натуральных n и m: $$[n\sqrt{2}][m\sqrt{7}]<[nm\sqrt{14}]$$ квадратные скобки обозначают целую часть числа. Буду очень признателен за любую идею.

задан 9 Дек '13 0:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Введём обозначения $%s=\lfloor n\sqrt2\rfloor$%, $%t=\lfloor m\sqrt7\rfloor$%. Ввиду иррациональности чисел $%\sqrt2$% и $%\sqrt7$% имеют место строгие неравенства $%s < n\sqrt2$% и $%t < m\sqrt7$%. Это значит, что $%s^2 < 2n^2$% и $%t^2 < 7m^2$%, откуда делаем вывод, что $%2n^2\ge s^2+1$% и $%7m^2\ge t^2+1$% (для второго неравенства можно получить чуть более сильную оценку $%7m^2\ge t^2+3$%, но в данном случае она не требуется).

Перемножая полученные неравенства, имеем $%14(nm)^2\ge(s^2+1)(t^2+1)=(st)^2+s^2+t^2+1\ge(st)^2+2st+1=(st+1)^2$%. Извлекая корни, получаем $%nm\sqrt{14}\ge st+1$%, откуда $%\lfloor nm\sqrt{14}\rfloor\ge st+1 > st=\lfloor n\sqrt2\rfloor\lfloor m\sqrt7\rfloor$%.

ссылка

отвечен 9 Дек '13 1:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×17

задан
9 Дек '13 0:33

показан
439 раз

обновлен
9 Дек '13 1:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru