В некоторой местности на севере Норвегии климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с вероятностью 2/3 пойдет дождь или с вероятностью 1/3 пойдет снег. Если сегодня дождь (или снег), то с вероятностью 1/2 погода не изменится. Если же она изменится, то в половине случаев снег сменяется дождем или наоборот, а в половине случаев будет ясная погода. Требуется: а) выписать матрицу переходных вероятностей однородной цепи Маркова с тремя состояниями {Д (дождь), С (снег), Я (ясно)}; б) построить граф перехода состояний; в) определить вероятность ясной погоды через два дня после дождя (то есть на третий после дождя).

задан 9 Дек '13 12:06

изменен 11 Дек '13 3:47

Deleted's gravatar image


126

Тут в тексте не указаны вероятности перехода из одного состояния в другое.

(9 Дек '13 15:48) falcao

я изменила

(9 Дек '13 16:13) ymnenkaya
10|600 символов нужно символов осталось
0

Граф из пункта б) строится так. Рисуем три "кружочка": Я, Д, С. Из Я одна стрелка с меткой 2/3 идёт в Д и одна стрелка с меткой 1/3 идёт в С. Из Д рисуем одну стрелку с меткой 1/2, оканчивающуюся в той же вершине. Так же поступаем с С. Далее, для оставшихся случаев рисуем стрелки с метками 1/4 из Д в С, из С в Д, из Д в Я, и из С в Я.

Теперь по графу легко нарисовать матрицу $%A$% переходных вероятностей: её строки и столбцы обозначаем через Я, Д, С в порядке следования, а на пересечениях пишем вероятности перехода. Скажем, на пересечении строки Я и столбца Д находится вероятность перехода из Я в Д.

Чтобы узнать, какая картина будет на $%n$%-й день, матрицу нужно возвести в $%n$%-ю степень. В данном случае -- просто возвести в куб. И в этой матрице нас будет интересовать число, стоящее на пересечении строки Д и столбца Я. На самом деле, можно всю матрицу в куб не возводить, так как нас интересует лишь один её элемент. Можно полностью возвести матрицу $%A$% в квадрат, и затем умножить строку Д матрицы $%A^2$% на столбец Я матрицы $%A$%. Можно поменять ролями $%A$% и $%A^2$% в этом вычислении (для проверки полученного ответа) -- должно получиться то же самое. Ответ потом можно будет сверить.

ссылка

отвечен 9 Дек '13 16:56

изменен 9 Дек '13 17:49

а какая цифра будет на пересечении Я и Я в матрице перехода, тоже 1/2

(9 Дек '13 17:18) ymnenkaya

как это умножит строку на строку, я не поняла, умнежение матриц то не предусматривает

(9 Дек '13 17:30) ymnenkaya

Нет, это число равно нулю, потому что стрелок из Я в Я нет. Это отражает факт из условия, что два дня подряд погода не бывает ясной. То есть вероятность перейти из Я в Я за один шаг равна нулю.

Полезно ещё иметь в виду, что у рассматриваемых матриц сумма элементов каждой строки равна единице. Для столбцов, правда, это в общем случае уже не так.

(9 Дек '13 17:31) falcao

Конечно, имелось в виду умножение строки на столбец. Это я опечатался. Сейчас подправил текст.

(9 Дек '13 17:50) falcao

спасибо, я проверила все три матрицы и получилось одно и тоже число

(10 Дек '13 5:11) ymnenkaya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,913

задан
9 Дек '13 12:06

показан
1923 раза

обновлен
10 Дек '13 5:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru